1. Enunciado do problema: Temos duas retas paralelas $e$ e $a$ no mesmo plano. Na reta $e$ há $n$ pontos distintos e na reta $a$ há 5 pontos distintos. Queremos determinar o valor de $n$ sabendo que é possível formar 385 triângulos com vértices nesses pontos. 2. Fórmula e regras importantes: Para formar um triângulo, precisamos escolher 3 pontos que não estejam todos na mesma reta. Como os pontos estão em duas retas paralelas, triângulos só podem ser formados escolhendo pontos de ambas as retas. 3. Cálculo do número de triângulos: - Total de pontos: $n + 5$ - Número total de combinações de 3 pontos: $\binom{n+5}{3}$ - Triângulos inválidos são os que têm os 3 pontos na mesma reta, pois são colineares. - Número de combinações de 3 pontos na reta $e$: $\binom{n}{3}$ - Número de combinações de 3 pontos na reta $a$: $\binom{5}{3}$ 4. Número de triângulos válidos: $$\text{triângulos} = \binom{n+5}{3} - \binom{n}{3} - \binom{5}{3}$$ 5. Substituindo o valor dado para triângulos: $$385 = \binom{n+5}{3} - \binom{n}{3} - \binom{5}{3}$$ 6. Calculando $\binom{5}{3}$: $$\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$$ 7. Expandindo as combinações: $$\binom{n+5}{3} = \frac{(n+5)(n+4)(n+3)}{6}$$ $$\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ 8. Substituindo na equação: $$385 = \frac{(n+5)(n+4)(n+3)}{6} - \frac{n(n-1)(n-2)}{6} - 10$$ 9. Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar denominadores: $$6 \times 385 = (n+5)(n+4)(n+3) - n(n-1)(n-2) - 60$$ $$2310 = (n+5)(n+4)(n+3) - n(n-1)(n-2) - 60$$ 10. Somando 60 em ambos os lados: $$2310 + 60 = (n+5)(n+4)(n+3) - n(n-1)(n-2)$$ $$2370 = (n+5)(n+4)(n+3) - n(n-1)(n-2)$$ 11. Expandindo os produtos: $$(n+5)(n+4)(n+3) = (n+5)(n^2 + 7n + 12) = n^3 + 7n^2 + 12n + 5n^2 + 35n + 60 = n^3 + 12n^2 + 47n + 60$$ $$n(n-1)(n-2) = n(n^2 - 3n + 2) = n^3 - 3n^2 + 2n$$ 12. Substituindo na equação: $$2370 = (n^3 + 12n^2 + 47n + 60) - (n^3 - 3n^2 + 2n)$$ $$2370 = n^3 + 12n^2 + 47n + 60 - n^3 + 3n^2 - 2n$$ $$2370 = 15n^2 + 45n + 60$$ 13. Subtraindo 2370 de ambos os lados: $$0 = 15n^2 + 45n + 60 - 2370$$ $$0 = 15n^2 + 45n - 2310$$ 14. Dividindo toda a equação por 15 para simplificar: $$0 = \cancel{15}n^2 + \cancel{15}3n - \cancel{15}154$$ $$0 = n^2 + 3n - 154$$ 15. Resolvendo a equação quadrática $n^2 + 3n - 154 = 0$ usando a fórmula de Bhaskara: $$n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-154)}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 616}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{625}}{2}$$ 16. Calculando as raízes: $$n = \frac{-3 + 25}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ $$n = \frac{-3 - 25}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$ 17. Como $n$ representa número de pontos, deve ser positivo. Portanto, $n = 11$. Resposta final: $\boxed{11}$