1. **Énoncé du problème :** Trouver les coordonnées dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA'})$ des vecteurs $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BD'}, \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{BP}$ et $\overrightarrow{CS}$. 2. **Base et repères :** La base est formée par les vecteurs $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA'}$. Par définition, dans cette base : - $\overrightarrow{AB} = (1,0,0)$ - $\overrightarrow{AD} = (0,1,0)$ - $\overrightarrow{AA'} = (0,0,1)$ 3. **Coordonnées des vecteurs de base :** - $\overrightarrow{AB} = (1,0,0)$ - $\overrightarrow{AD} = (0,1,0)$ - $\overrightarrow{AA'} = (0,0,1)$ 4. **Vecteur $\overrightarrow{BD'}$ :** On exprime $\overrightarrow{BD'}$ en fonction de la base : $$\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$$ Donc, $$\overrightarrow{BD'} = (-1,1,1)$$ 5. **Coordonnées des points H et K (milieux) :** - $H$ milieu de $[DD']$ : $$\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DD'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} = (0,0,\frac{1}{2})$$ - $K$ milieu de $[CD]$ : $$\overrightarrow{CK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2} (-\overrightarrow{AB}) = (-\frac{1}{2},0,0)$$ 6. **Coordonnées des points N, P, S :** Les points $N, P, S$ sont définis par leurs positions relatives dans le parallélépipède, souvent comme milieux ou centres de segments ou faces. Supposons que : - $N$ est milieu de $[HK]$ donc $$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AH} + \frac{1}{2} \overrightarrow{HK}$$ Calculons $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{HK}$ : $$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} = (0,1,0) + (0,0,\frac{1}{2}) = (0,1,\frac{1}{2})$$ $$\overrightarrow{HK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AH} = (-\frac{1}{2},1,0) - (0,1,\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})$$ Donc, $$\overrightarrow{AN} = (0,1,\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}) = (0,1,\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{4},0,-\frac{1}{4}) = (-\frac{1}{4},1,\frac{1}{4})$$ 7. **Vecteur $\overrightarrow{AN}$ :** $$\overrightarrow{AN} = (-\frac{1}{4},1,\frac{1}{4})$$ 8. **Vecteur $\overrightarrow{BP}$ :** Supposons $P$ milieu de $[B'C']$ (parallèle à $[BC]$), donc $$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CC'}$$ Or, $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AD} = (0,1,0)$$ $$\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AA'} = (0,0,1)$$ Donc, $$\overrightarrow{BP} = (0,1,0) + \frac{1}{2}(0,0,1) = (0,1,\frac{1}{2})$$ 9. **Vecteur $\overrightarrow{CS}$ :** Supposons $S$ milieu de $[C'D']$ donc $$\overrightarrow{CS} = \overrightarrow{CC'} + \frac{1}{2} \overrightarrow{C'D'} = (0,0,1) + \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB}) = (0,0,1) + (-\frac{1}{2},0,0) = (-\frac{1}{2},0,1)$$ **Réponses finales :** - $\overrightarrow{AB} = (1,0,0)$ - $\overrightarrow{AD} = (0,1,0)$ - $\overrightarrow{AA'} = (0,0,1)$ - $\overrightarrow{BD'} = (-1,1,1)$ - $\overrightarrow{AN} = (-\frac{1}{4},1,\frac{1}{4})$ - $\overrightarrow{BP} = (0,1,\frac{1}{2})$ - $\overrightarrow{CS} = (-\frac{1}{2},0,1)$