1. **Problemstellung:** Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten A(10,10,10), B(75,75,25) und C(50,0,75). Entlang der Kante AB soll ein Flansch mit 20 mm Breite im Winkel von 90° konstruiert werden. 2. **Ziel:** Bestimme die Punkte für den Flansch an den Punkten A und B. 3. **Vorgehen:** - Zuerst bestimmen wir den Richtungsvektor der Kante AB: $$\vec{AB} = B - A = (75-10, 75-10, 25-10) = (65, 65, 15)$$ - Die Länge von $\vec{AB}$ ist: $$|\vec{AB}| = \sqrt{65^2 + 65^2 + 15^2} = \sqrt{4225 + 4225 + 225} = \sqrt{8675} \approx 93.13$$ - Der Einheitsvektor entlang AB ist: $$\hat{u}_{AB} = \frac{1}{93.13}(65, 65, 15) \approx (0.698, 0.698, 0.161)$$ 4. **Flanschrichtung:** Der Flansch steht senkrecht (90°) auf der Kante AB. Wir benötigen einen Vektor $\vec{v}$, der orthogonal zu $\vec{AB}$ ist und eine Länge von 20 mm hat. - Um einen orthogonalen Vektor zu finden, verwenden wir den Vektor $\vec{AC} = C - A = (50-10, 0-10, 75-10) = (40, -10, 65)$. - Projektion von $\vec{AC}$ auf $\vec{AB}$: $$proj_{AB}(AC) = \left(\frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}\right) \vec{AB}$$ - Skalarprodukt: $$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 40*65 + (-10)*65 + 65*15 = 2600 - 650 + 975 = 2925$$ - Quadratlänge von $\vec{AB}$: $$|\vec{AB}|^2 = 8675$$ - Projektion: $$proj_{AB}(AC) = \frac{2925}{8675} \vec{AB} \approx 0.337 \vec{AB} = (0.337*65, 0.337*65, 0.337*15) = (21.9, 21.9, 5.05)$$ - Orthogonaler Anteil: $$\vec{v} = \vec{AC} - proj_{AB}(AC) = (40 - 21.9, -10 - 21.9, 65 - 5.05) = (18.1, -31.9, 59.95)$$ - Länge von $\vec{v}$: $$|\vec{v}| = \sqrt{18.1^2 + (-31.9)^2 + 59.95^2} = \sqrt{327.6 + 1018.6 + 3594} = \sqrt{4940.2} \approx 70.28$$ - Einheitsvektor für Flansch: $$\hat{v} = \frac{1}{70.28}(18.1, -31.9, 59.95) \approx (0.257, -0.454, 0.853)$$ - Flanschvektor mit Länge 20 mm: $$\vec{f} = 20 \times \hat{v} = (5.14, -9.08, 17.06)$$ 5. **Punkte für den Flansch:** - Am Punkt A: $$A_{flansch} = A + \vec{f} = (10 + 5.14, 10 - 9.08, 10 + 17.06) = (15.14, 0.92, 27.06)$$ - Am Punkt B: $$B_{flansch} = B + \vec{f} = (75 + 5.14, 75 - 9.08, 25 + 17.06) = (80.14, 65.92, 42.06)$$ 6. **Zusammenfassung:** Die Flanschpunkte sind: - $A_{flansch} = (15.14, 0.92, 27.06)$ - $B_{flansch} = (80.14, 65.92, 42.06)$ Diese Punkte liegen 20 mm senkrecht zur Kante AB und definieren den Flansch entlang der Kante.