1. **Problemstellung:** Gegeben sind zwei gleichseitige Dreiecke $ABC$ und $AED$ mit $D \in AB$. Es soll gezeigt werden, dass $|BE| = |CD|$ gilt. 2. **Wichtige Eigenschaften:** - In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. - Winkel in einem gleichseitigen Dreieck betragen jeweils $60^\circ$. 3. **Gegebene Längen:** - Da $ABC$ gleichseitig ist, gilt $|AB| = |BC| = |CA|$. - Da $AED$ gleichseitig ist, gilt $|AE| = |ED| = |DA|$. 4. **Bezeichnung:** Sei $|AB| = s$ und $D$ ein Punkt auf $AB$ mit $|AD| = x$, somit $|DB| = s - x$. 5. **Koordinatensystem:** - Setze $A$ im Ursprung $(0,0)$. - $B$ liegt auf der x-Achse bei $(s,0)$. - Da $ABC$ gleichseitig ist, liegt $C$ bei $(\frac{s}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}s)$. - Da $AED$ gleichseitig ist und $D$ auf $AB$ bei $(x,0)$ liegt, liegt $E$ unterhalb der x-Achse bei $(\frac{x}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}x)$. 6. **Berechnung der Länge $BE$:** $$|BE| = \sqrt{(s - \frac{x}{2})^2 + (0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}x))^2} = \sqrt{(s - \frac{x}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2}$$ 7. **Berechnung der Länge $CD$:** $$|CD| = \sqrt{(\frac{s}{2} - x)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}s - 0)^2} = \sqrt{(\frac{s}{2} - x)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}s)^2}$$ 8. **Ausmultiplizieren und Vereinfachen:** - Für $|BE|^2$: $$ (s - \frac{x}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 = s^2 - s x + \frac{x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} = s^2 - s x + x^2 $$ - Für $|CD|^2$: $$ (\frac{s}{2} - x)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}s)^2 = \frac{s^2}{4} - s x + x^2 + \frac{3 s^2}{4} = s^2 - s x + x^2 $$ 9. **Schlussfolgerung:** Da $|BE|^2 = |CD|^2 = s^2 - s x + x^2$, folgt daraus $$|BE| = |CD|$$ **Antwort:** Es wurde gezeigt, dass die Längen $|BE|$ und $|CD|$ gleich sind, wie gefordert.