1. Das Problem lautet: Gegeben ist die Fläche $A=5$ cm$^2$ eines gleichseitigen Dreiecks. Gesucht sind die Seitenlänge $a$ und die Höhe $h$. 2. Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet $$A=\frac{1}{2} \times \text{Grundseite} \times \text{Höhe}$$ 3. Für ein gleichseitiges Dreieck gilt: Alle Seiten sind gleich lang, also $a$. 4. Die Höhe $h$ eines gleichseitigen Dreiecks kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden: $$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$ 5. Setze $h$ in die Flächenformel ein: $$A=\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ 6. Setze $A=5$ cm$^2$ ein und löse nach $a$ auf: $$5=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ 7. Multipliziere beide Seiten mit $\cancel{4}$, um den Bruch zu eliminieren: $$5 \times \cancel{4} = \cancel{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Rightarrow 20 = \sqrt{3} a^2$$ 8. Teile beide Seiten durch $\cancel{\sqrt{3}}$: $$\frac{20}{\cancel{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} a^2}{\cancel{\sqrt{3}}} \Rightarrow \frac{20}{\sqrt{3}} = a^2$$ 9. Ziehe die Quadratwurzel: $$a = \sqrt{\frac{20}{\sqrt{3}}}$$ 10. Um zu vereinfachen, multipliziere Zähler und Nenner unter der Wurzel mit $\sqrt{3}$: $$a = \sqrt{\frac{20 \sqrt{3}}{3}} = \sqrt{\frac{20 \times 1.732}{3}} = \sqrt{11.547} \approx 3.4 \text{ cm}$$ 11. Berechne die Höhe $h$: $$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{1.732}{2} \times 3.4 \approx 0.866 \times 3.4 = 2.94 \text{ cm}$$ Antwort: Die Seitenlänge $a$ ist ungefähr 3.4 cm und die Höhe $h$ ungefähr 2.94 cm.