1. Das Problem beschreibt ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Seitenlängen $|BC|=a$, $|AC|=b$, $|AB|=c$ und dem rechten Winkel bei $C$. Außerdem gibt es eine Halbkreis mit Radius $r$, der auf der Strecke $AB$ liegt und $r$ ist so definiert, dass $$\frac{1}{r} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$ gilt. 2. Wir sollen den Radius $r$ des Halbkreises bestimmen, wenn $a$ und $b$ gegeben sind. 3. Die Formel lautet: $$\frac{1}{r} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$ Das bedeutet, dass der Kehrwert von $r$ die Summe der Kehrwerte von $a$ und $b$ ist. 4. Um $r$ zu finden, addieren wir die Brüche auf der rechten Seite: $$\frac{1}{r} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$$ 5. Nun nehmen wir den Kehrwert, um $r$ zu isolieren: $$r = \frac{ab}{a+b}$$ 6. Das bedeutet, der Radius $r$ des Halbkreises ist das Produkt der Katheten $a$ und $b$ geteilt durch ihre Summe. 7. Beispiel: Wenn $a=3$ und $b=4$, dann ist $$r = \frac{3 \times 4}{3+4} = \frac{12}{7} \approx 1{,}71$$ 8. Zusammenfassung: Der Radius des Halbkreises, der auf der Hypotenuse liegt und die Katheten berührt, ist $$\boxed{r = \frac{ab}{a+b}}$$ Dies ist eine wichtige Beziehung in rechtwinkligen Dreiecken mit solchen Halbkreisen.