1. **Problem statement:** Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen $x$ und $y$. Wenn man eine Kathete um 4 cm verlängert und die andere um 5 cm verkürzt, entsteht ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der gleichen Fläche. Gesucht sind die ursprünglichen Kathetenlängen $x$ und $y$ sowie die neuen Kathetenlängen. 2. **Formeln und Regeln:** - Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks: $$A = \frac{1}{2}xy$$ - Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck hat zwei gleich lange Katheten, also neue Kathetenlängen sind gleich: $$x + 4 = y - 5$$ - Die Fläche bleibt gleich: $$\frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}(x+4)(y-5)$$ 3. **Aufstellen der Gleichungen:** Aus der Gleichheit der Katheten im neuen Dreieck: $$x + 4 = y - 5 \implies y = x + 9$$ Aus der Flächengleichheit: $$\frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}(x+4)(y-5)$$ Multiplizieren mit 2: $$xy = (x+4)(y-5)$$ Ausmultiplizieren: $$xy = xy - 5x + 4y - 20$$ Beide Seiten subtrahieren $xy$: $$0 = -5x + 4y - 20$$ 4. **Einsetzen von $y = x + 9$ in die Gleichung:** $$0 = -5x + 4(x + 9) - 20$$ $$0 = -5x + 4x + 36 - 20$$ $$0 = -x + 16$$ $$x = 16$$ 5. **Berechnung von $y$:** $$y = x + 9 = 16 + 9 = 25$$ 6. **Berechnung der neuen Katheten:** Neue Kathete 1: $$x + 4 = 16 + 4 = 20$$ Neue Kathete 2: $$y - 5 = 25 - 5 = 20$$ 7. **Ergebnis:** Ursprüngliche Kathetenlängen: $$x = 16\,cm,\quad y = 25\,cm$$ Neue Kathetenlängen: $$20\,cm$$ und $$20\,cm$$ (gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck) 8. **Zusammenfassung:** Die ursprünglichen Katheten sind 16 cm und 25 cm lang. Das neue Dreieck hat zwei Katheten von jeweils 20 cm, ist also gleichschenklig und rechtwinklig mit gleicher Fläche wie das ursprüngliche Dreieck.