1. **Problem statement:** Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen $x$ und $y$. Wenn man eine Kathete um 4 cm verlängert und die andere um 5 cm verkürzt, entsteht ein neues rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit der gleichen Fläche. 2. **Formeln und Regeln:** Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist $$A = \frac{1}{2} \times \text{Kathete}_1 \times \text{Kathete}_2 = \frac{1}{2}xy.$$ Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck hat zwei gleich lange Katheten, also sind die neuen Katheten gleich lang. 3. **Aufstellung der Gleichungen:** Sei die verlängerte Kathete $x + 4$ und die verkürzte Kathete $y - 5$. Da das neue Dreieck gleichschenklig rechtwinklig ist, gilt: $$x + 4 = y - 5.$$ Die Flächen sind gleich, also: $$\frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}(x + 4)(y - 5).$$ 4. **Vereinfachung der Flächengleichung:** $$xy = (x + 4)(y - 5) = xy - 5x + 4y - 20.$$ Subtrahiere $xy$ von beiden Seiten: $$xy - xy = xy - 5x + 4y - 20 - xy \Rightarrow 0 = -5x + 4y - 20.$$ Das ist: $$-5x + 4y = 20.$$ Multipliziere mit $-1$: $$5x - 4y = -20.$$ 5. **Aus der Gleichung für die Kathetenlängen:** $$x + 4 = y - 5 \Rightarrow y = x + 9.$$ 6. **Einsetzen von $y$ in die lineare Gleichung:** $$5x - 4(x + 9) = -20.$$ Ausmultiplizieren: $$5x - 4x - 36 = -20.$$ Vereinfachen: $$x - 36 = -20.$$ Addiere 36 zu beiden Seiten: $$x = 16.$$ 7. **Berechnung von $y$:** $$y = x + 9 = 16 + 9 = 25.$$ 8. **Ergebnis:** Ursprüngliche Kathetenlängen sind $x = 16$ cm und $y = 25$ cm. Neue Kathetenlängen sind: $$x + 4 = 20 \text{ cm}, \quad y - 5 = 20 \text{ cm}.$$ Das neue Dreieck ist gleichschenklig rechtwinklig mit Kathetenlänge 20 cm und hat die gleiche Fläche wie das ursprüngliche Dreieck.