1. Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen $a$ und $b$. 2. Die ursprünglichen Katheten sind $a=4$ cm und $b=5$ cm. 3. Eine Kathete wird um 4 cm verlängert, die andere um 5 cm verkürzt, sodass das neue Dreieck ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist. 4. Die Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist $$A_1=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times 4 \times 5=10\text{ cm}^2.$$ 5. Die neue Kathetenlänge sind $a+4$ und $b-5$. 6. Da das neue Dreieck gleichschenklig rechtwinklig ist, sind die Katheten gleich lang: $$a+4 = b-5.$$ 7. Die Fläche des neuen Dreiecks ist gleich der des ursprünglichen: $$A_2=\frac{1}{2}(a+4)(b-5)=10.$$ 8. Wir haben das Gleichungssystem: $$\begin{cases} a=4 \\ b=5 \end{cases}$$ 9. Prüfen wir die Gleichung $a+4 = b-5$ mit den gegebenen Werten: $$4+4=8, \quad 5-5=0,$$ was nicht gleich ist. 10. Die Aufgabe verlangt die ursprünglichen Katheten $a$ und $b$ zu bestimmen, die diese Bedingungen erfüllen. 11. Setzen wir $a=x$ und $b=y$ und lösen das System: $$\begin{cases} x+4 = y-5 \\ \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}(x+4)(y-5) \end{cases}$$ 12. Aus der ersten Gleichung: $$y = x + 9.$$ 13. Setzen wir $y$ in die Flächengleichung ein: $$\frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}(x+4)(y-5)$$ $$xy = (x+4)(y-5)$$ $$x(x+9) = (x+4)(x+9-5)$$ $$x^2 + 9x = (x+4)(x+4)$$ $$x^2 + 9x = x^2 + 8x + 16$$ 14. Kürzen wir $x^2$ auf beiden Seiten: $$9x = 8x + 16$$ $$9x - 8x = 16$$ $$x = 16.$$ 15. Berechnen wir $y$: $$y = x + 9 = 16 + 9 = 25.$$ 16. Die ursprünglichen Kathetenlängen sind also $a=16$ cm und $b=25$ cm. 17. Überprüfen wir die Fläche: $$A_1 = \frac{1}{2} \times 16 \times 25 = 200\text{ cm}^2,$$ $$A_2 = \frac{1}{2} \times (16+4) \times (25-5) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200\text{ cm}^2,$$ was bestätigt, dass die Flächen gleich sind. Antwort: Die ursprünglichen Kathetenlängen sind $16$ cm und $25$ cm.