1. **Problem statement:** Berechne das Volumen und die Oberfläche eines Kegels für die gegebenen Werte. 2. **Formeln:** - Volumen $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ - Oberfläche $O = \pi r (r + s)$, wobei $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ die Mantellinie ist. 3. **Wichtig:** - Wenn der Durchmesser $d$ gegeben ist, gilt $r = \frac{d}{2}$. - Die Mantellinie $s$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. 4. **Berechnung für a) $r=8$ cm, $h=15$ cm:** - Mantellinie $s = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ cm - Volumen $V = \frac{1}{3} \pi \times 8^2 \times 15 = \frac{1}{3} \pi \times 64 \times 15 = \frac{1}{3} \pi \times 960$ - Zwischenschritt Volumen: $V = \pi \times \cancel{\frac{1}{3}} \times 64 \times 15 = \pi \times 320$ - Oberfläche $O = \pi \times 8 \times (8 + 17) = \pi \times 8 \times 25 = 200 \pi$ 5. **Berechnung für b) $d=20$ cm, $h=24$ cm:** - Radius $r = \frac{20}{2} = 10$ cm - Mantellinie $s = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ cm - Volumen $V = \frac{1}{3} \pi \times 10^2 \times 24 = \frac{1}{3} \pi \times 100 \times 24 = 800 \pi$ - Oberfläche $O = \pi \times 10 \times (10 + 26) = \pi \times 10 \times 36 = 360 \pi$ 6. **Berechnung für c) $d=22$ cm, $s=61$ cm:** - Radius $r = \frac{22}{2} = 11$ cm - Höhe $h = \sqrt{s^2 - r^2} = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3721 - 121} = \sqrt{3600} = 60$ cm - Volumen $V = \frac{1}{3} \pi \times 11^2 \times 60 = \frac{1}{3} \pi \times 121 \times 60 = 2420 \pi$ - Oberfläche $O = \pi \times 11 \times (11 + 61) = \pi \times 11 \times 72 = 792 \pi$ 7. **Berechnung für d) $r=33$ mm, $h=56$ mm:** - Mantellinie $s = \sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65$ mm - Volumen $V = \frac{1}{3} \pi \times 33^2 \times 56 = \frac{1}{3} \pi \times 1089 \times 56 = 20352 \pi$ - Oberfläche $O = \pi \times 33 \times (33 + 65) = \pi \times 33 \times 98 = 3234 \pi$ 8. **Berechnung für e) $d=4$ cm, $h=39$ mm:** - Umrechnung: $h=39$ mm = 3.9 cm - Radius $r = \frac{4}{2} = 2$ cm - Mantellinie $s = \sqrt{2^2 + 3.9^2} = \sqrt{4 + 15.21} = \sqrt{19.21} \approx 4.385$ cm - Volumen $V = \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times 3.9 = \frac{1}{3} \pi \times 4 \times 3.9 = 5.2 \pi$ - Oberfläche $O = \pi \times 2 \times (2 + 4.385) = \pi \times 2 \times 6.385 = 12.77 \pi$ 9. **Berechnung für f) $r=2.8$ cm, $s=5.3$ cm:** - Höhe $h = \sqrt{5.3^2 - 2.8^2} = \sqrt{28.09 - 7.84} = \sqrt{20.25} = 4.5$ cm - Volumen $V = \frac{1}{3} \pi \times 2.8^2 \times 4.5 = \frac{1}{3} \pi \times 7.84 \times 4.5 = 11.76 \pi$ - Oberfläche $O = \pi \times 2.8 \times (2.8 + 5.3) = \pi \times 2.8 \times 8.1 = 22.68 \pi$