1. **Problemstellung:** Berechne die Oberfläche und das Volumen der Figur, die aus einem großen Kegelstumpf (Truncated Cone) mit einem kleineren Kegel oben entfernt besteht. 2. **Gegebene Werte:** - Unterer Durchmesser des Kegelstumpfs $d_1 = 18$ - Oberer Durchmesser des Kegelstumpfs $d_2 = 8$ - Gesamthöhe des großen Kegels $H = 13$ - Höhe des entfernten kleinen Kegels $h = 4.5$ - Höhe des Kegelstumpfs $H - h = 13 - 4.5 = 8.5$ (wird aber in Aufgabe als 6 angegeben, wir nehmen 6 als Höhe des Kegelstumpfs) 3. **Formeln:** - Volumen Kegel: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ - Volumen Kegelstumpf: $$V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$$ - Oberfläche Kegelstumpf (Mantelfläche + Grundfläche + Deckfläche): $$A = \pi (r_1 + r_2) s + \pi r_1^2 + \pi r_2^2$$ - Mantellinie $s = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h^2}$ 4. **Berechnung der Radien:** - $r_1 = \frac{18}{2} = 9$ - $r_2 = \frac{8}{2} = 4$ 5. **Berechnung der Mantellinie $s$ des Kegelstumpfs:** $$s = \sqrt{(9 - 4)^2 + 6^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \approx 7.81$$ 6. **Volumen des großen Kegels:** $$V_{groß} = \frac{1}{3} \pi 9^2 \cdot 13 = \frac{1}{3} \pi 81 \cdot 13 = 351 \pi$$ 7. **Radius des kleinen Kegels:** Da der kleine Kegel oben entfernt ist, ist sein Radius proportional zur Höhe: $$r_{klein} = \frac{4}{13} \times 9 = \frac{36}{13} \approx 2.77$$ 8. **Volumen des kleinen Kegels:** $$V_{klein} = \frac{1}{3} \pi (2.77)^2 \cdot 4.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 7.67 \cdot 4.5 = 11.5 \pi$$ 9. **Volumen des Kegelstumpfs (Figur):** $$V = V_{groß} - V_{klein} = 351 \pi - 11.5 \pi = 339.5 \pi \approx 1066.5$$ 10. **Oberfläche des Kegelstumpfs:** - Mantelfläche: $$A_{Mantel} = \pi (9 + 4) \times 7.81 = 13 \pi \times 7.81 = 101.53 \pi$$ - Grundfläche: $$A_{Grund} = \pi 9^2 = 81 \pi$$ - Deckfläche: $$A_{Deck} = \pi 4^2 = 16 \pi$$ - Gesamtoberfläche: $$A = 101.53 \pi + 81 \pi + 16 \pi = 198.53 \pi \approx 623.5$$ **Endergebnis:** - Volumen $V \approx 1066.5$ - Oberfläche $A \approx 623.5$