1. **Problemstellung:** Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts (Kreissegments) mit der Sehnenlänge $s=17{,}3$ cm, Radius $r=11$ cm und dem Mittelpunktswinkel $\alpha=104^\circ$. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle. 2. **Formeln und Regeln:** - Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\text{Abschnitt}}$ ist die Differenz zwischen dem Flächeninhalt des Kreisabschnitts (Sektor) und dem Dreieck, das von den beiden Radien und der Sehne gebildet wird. - Flächeninhalt des Sektors: $$A_{\text{Sektor}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$ - Flächeninhalt des Dreiecks (mit zwei Seiten $r$ und eingeschlossenem Winkel $\alpha$): $$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} r^2 \sin(\alpha)$$ 3. **Berechnung des Flächeninhalts:** - Berechne $A_{\text{Sektor}}$: $$A_{\text{Sektor}} = \frac{104}{360} \cdot \pi \cdot 11^2 = \frac{104}{360} \cdot \pi \cdot 121$$ - Berechne $A_{\text{Dreieck}}$: $$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 11^2 \cdot \sin(104^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 121 \cdot \sin(104^\circ)$$ 4. **Zwischenergebnis:** - $A_{\text{Sektor}} = \frac{104}{360} \cdot 121 \pi$ - $A_{\text{Dreieck}} = 60{,}5 \cdot \sin(104^\circ)$ 5. **Numerische Werte:** - $\frac{104}{360} = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}$ - $A_{\text{Sektor}} = \frac{13}{45} \cdot 121 \pi = \frac{13 \cdot 121}{45} \pi = \frac{1573}{45} \pi$ - $A_{\text{Sektor}} \approx \frac{1573}{45} \cdot 3{,}1416 = 34{,}7$ cm$^2$ - $\sin(104^\circ) \approx 0{,}9703$ - $A_{\text{Dreieck}} = 60{,}5 \cdot 0{,}9703 = 58{,}7$ cm$^2$ 6. **Flächeninhalt des Kreisausschnitts:** $$A_{\text{Abschnitt}} = A_{\text{Sektor}} - A_{\text{Dreieck}} = 34{,}7 - 58{,}7 = -24{,}0$$ 7. **Korrektur:** Da der Winkel $\alpha=104^\circ$ größer als $90^\circ$ ist, ist der Flächeninhalt des Kreisausschnitts der größere Bereich oberhalb der Sehne. Die Formel für den Kreisausschnitt ist: $$A_{\text{Abschnitt}} = A_{\text{Sektor}} - A_{\text{Dreieck}}$$ Wir haben die Werte vertauscht, denn $A_{\text{Sektor}}$ ist größer als $A_{\text{Dreieck}}$. 8. **Richtig gerechnet:** - $A_{\text{Sektor}} \approx 115{,}7$ cm$^2$ (korrekt berechnet: $\frac{104}{360} \cdot \pi \cdot 121$) - $A_{\text{Dreieck}} \approx 58{,}7$ cm$^2$ Berechnung von $A_{\text{Sektor}}$ nochmal genau: $$A_{\text{Sektor}} = \frac{104}{360} \cdot 3{,}1416 \cdot 121 = 0{,}2889 \cdot 3{,}1416 \cdot 121 = 0{,}2889 \cdot 379{,}94 = 109{,}7$$ 9. **Endergebnis:** $$A_{\text{Abschnitt}} = 109{,}7 - 58{,}7 = 51{,}0 \text{ cm}^2$$ **Antwort:** Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts beträgt gerundet $\boxed{51{,}0}$ cm$^2$.