1. **Problemstellung:** Berechne den Umfang und Flächeninhalt der Figuren aus Aufgabe 1a. 2. **Figur 1a:** Halbkreis auf Rechteck mit Höhe 20 cm und Breite 20 cm. 3. **Umfang berechnen:** - Rechteckumfang ohne obere Seite: $20 + 20 + 20 = 60$ cm - Halbkreisumfang: $\pi \times r = \pi \times 10 = 31{,}42$ cm - Gesamtumfang: $60 - 20 + 31{,}42 = 71{,}42$ cm (da obere Seite durch Halbkreis ersetzt wird) 4. **Flächeninhalt berechnen:** - Rechteckfläche: $20 \times 20 = 400$ cm$^2$ - Halbkreisfläche: $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi 10^2 = 157{,}08$ cm$^2$ - Gesamtfläche: $400 + 157{,}08 = 557{,}08$ cm$^2$ 5. **Ergebnis:** - Umfang $u \approx 71{,}4$ cm - Fläche $A \approx 557{,}1$ cm$^2$ 1. **Problemstellung:** Berechne den Umfang und Flächeninhalt der Figur aus Aufgabe 1b. 2. **Figur 1b:** Vier Halbkreise an einem Quadrat mit Seitenlänge 6 cm. 3. **Umfang berechnen:** - Quadratumfang: $4 \times 6 = 24$ cm - Jeder Halbkreis hat Radius $r=3$ cm - Umfang aller Halbkreise: $4 \times \pi r = 4 \times \pi \times 3 = 37{,}70$ cm - Da Halbkreise außen am Quadrat sind, Gesamtumfang: $24 + 37{,}70 = 61{,}70$ cm 4. **Flächeninhalt berechnen:** - Quadratfläche: $6 \times 6 = 36$ cm$^2$ - Fläche aller Halbkreise: $4 \times \frac{1}{2} \pi r^2 = 2 \pi 3^2 = 56{,}55$ cm$^2$ - Gesamtfläche: $36 + 56{,}55 = 92{,}55$ cm$^2$ 5. **Ergebnis:** - Umfang $u \approx 61{,}7$ cm - Fläche $A \approx 92{,}6$ cm$^2$ 1. **Problemstellung:** Berechne den Umfang und Flächeninhalt der Figur aus Aufgabe 1c. 2. **Figur 1c:** Oval mit Breite 15 cm und Höhe 9 cm (Ellipse). 3. **Umfang berechnen:** - Ellipsenhalbachsen: $a=\frac{15}{2}=7{,}5$ cm, $b=\frac{9}{2}=4{,}5$ cm - Umfang Näherung nach Ramanujan: $$u \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right]$$ - Einsetzen: $$u \approx \pi \left[3(7{,}5 + 4{,}5) - \sqrt{(3 \times 7{,}5 + 4{,}5)(7{,}5 + 3 \times 4{,}5)}\right]$$ - $$= \pi \left[3 \times 12 - \sqrt{(22{,}5 + 4{,}5)(7{,}5 + 13{,}5)}\right] = \pi \left[36 - \sqrt{27 \times 21}\right]$$ - $$= \pi (36 - \sqrt{567}) = \pi (36 - 23{,}81) = \pi \times 12{,}19 = 38{,}28$$ cm 4. **Flächeninhalt berechnen:** - Fläche Ellipse: $A = \pi a b = \pi \times 7{,}5 \times 4{,}5 = 106{,}03$ cm$^2$ 5. **Ergebnis:** - Umfang $u \approx 38{,}3$ cm - Fläche $A \approx 106{,}0$ cm$^2$ 1. **Problemstellung:** Berechne Umfang und Fläche der Figur aus Aufgabe 2. 2. **Figur 2:** Komplexe Figur mit Hilfslinien, Maße: 12 cm, 10 cm, 8 cm, 6 cm. 3. **Umfang berechnen:** - Umfang ist Summe der Seiten: $12 + 10 + 8 + 6 = 36$ cm 4. **Flächeninhalt berechnen:** - Fläche zusammengesetzt aus Rechteck und Halbkreis - Rechteckfläche: $12 \times 8 = 96$ cm$^2$ - Halbkreisfläche mit Radius 6 cm: $\frac{1}{2} \pi 6^2 = 56{,}55$ cm$^2$ - Gesamtfläche: $96 + 56{,}55 = 152{,}55$ cm$^2$ 5. **Ergebnis:** - Umfang $u \approx 36$ cm - Fläche $A \approx 152{,}6$ cm$^2$ 1. **Problemstellung:** Berechne den Flächeninhalt des farbigen Kreisringes aus Aufgabe 3a. 2. **Kreisring:** Außenradius $R=28$ cm, Innenradius $r=21$ cm. 3. **Flächeninhalt berechnen:** - Fläche Außenkreis: $\pi R^2 = \pi \times 28^2 = 2463{,}01$ cm$^2$ - Fläche Innenkreis: $\pi r^2 = \pi \times 21^2 = 1385{,}44$ cm$^2$ - Fläche Kreisring: $2463{,}01 - 1385{,}44 = 1077{,}57$ cm$^2$ - Auf eine Nachkommastelle gerundet: $1077{,}6$ cm$^2$ 1. **Problemstellung:** Berechne den Flächeninhalt des farbigen Kreisringes aus Aufgabe 3b. 2. **Kreisring:** Außendurchmesser 3,2 m, Innendurchmesser 1,6 m 3. **Radien:** - Außenradius $R = \frac{3{,}2}{2} = 1{,}6$ m - Innenradius $r = \frac{1{,}6}{2} = 0{,}8$ m 4. **Flächeninhalt berechnen:** - Fläche Außenkreis: $\pi R^2 = \pi \times 1{,}6^2 = 8{,}042$ m$^2$ - Fläche Innenkreis: $\pi r^2 = \pi \times 0{,}8^2 = 2{,}011$ m$^2$ - Fläche Kreisring: $8{,}042 - 2{,}011 = 6{,}031$ m$^2$ - Auf eine Nachkommastelle gerundet: $6{,}0$ m$^2$ **Zusammenfassung:** - Aufgabe 1a: $u \approx 71{,}4$ cm, $A \approx 557{,}1$ cm$^2$ - Aufgabe 1b: $u \approx 61{,}7$ cm, $A \approx 92{,}6$ cm$^2$ - Aufgabe 1c: $u \approx 38{,}3$ cm, $A \approx 106{,}0$ cm$^2$ - Aufgabe 2: $u \approx 36$ cm, $A \approx 152{,}6$ cm$^2$ - Aufgabe 3a: $A \approx 1077{,}6$ cm$^2$ - Aufgabe 3b: $A \approx 6{,}0$ m$^2$