1. **Problem statement:** Ein Spieler will mit Kugel 1 Kugel 2 so treffen, dass Kugel 1 anschließend Kugel 3 trifft. Gegeben sind: - Abstand Kugel 1 zu Kugel 2: $72$ cm - Abstand Kugel 1 zu Kugel 3: $122$ cm - Winkel bei Kugel 2 zwischen den Wegen Kugel 1 zu Kugel 2 und Kugel 2 zu Kugel 3: $93^\circ$ Gesucht ist die Länge des eingezeichneten Weges von Kugel 1, also die Summe der Strecken Kugel 1 zu Kugel 2 und Kugel 2 zu Kugel 3. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Wir verwenden das Kosinussatz, um die Länge der Strecke Kugel 2 zu Kugel 3 zu berechnen. Der Kosinussatz lautet: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$ Hier sind $a$, $b$ die Seitenlängen und $\gamma$ der eingeschlossene Winkel. 3. **Anwendung:** Sei: - $a = 72$ cm (Kugel 1 zu Kugel 2) - $c = 122$ cm (Kugel 1 zu Kugel 3) - $\gamma = 93^\circ$ - $b$ = gesuchte Länge Kugel 2 zu Kugel 3 Nach Kosinussatz: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$ $$122^2 = 72^2 + b^2 - 2 \cdot 72 \cdot b \cdot \cos(93^\circ)$$ 4. **Berechnung:** $$14884 = 5184 + b^2 - 144b \cdot \cos(93^\circ)$$ Da $\cos(93^\circ) \approx -0.05234$ (cosinus von etwas größer als 90 Grad ist negativ), setzen wir ein: $$14884 = 5184 + b^2 - 144b \cdot (-0.05234)$$ $$14884 = 5184 + b^2 + 7.54b$$ 5. **Umstellen:** $$b^2 + 7.54b + 5184 - 14884 = 0$$ $$b^2 + 7.54b - 9700 = 0$$ 6. **Lösen der quadratischen Gleichung:** Mit der Mitternachtsformel: $$b = \frac{-7.54 \pm \sqrt{7.54^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9700)}}{2}$$ $$= \frac{-7.54 \pm \sqrt{56.84 + 38800}}{2}$$ $$= \frac{-7.54 \pm \sqrt{38856.84}}{2}$$ $$= \frac{-7.54 \pm 197.13}{2}$$ 7. **Lösungen:** - $b_1 = \frac{-7.54 + 197.13}{2} = \frac{189.59}{2} = 94.80$ cm - $b_2 = \frac{-7.54 - 197.13}{2} = \frac{-204.67}{2} = -102.34$ cm (unmöglich, da Länge negativ) 8. **Endergebnis:** Die Länge Kugel 2 zu Kugel 3 ist $94.80$ cm. Die gesamte Länge des Weges von Kugel 1 ist: $$72 + 94.80 = 166.80 \text{ cm}$$ **Antwort:** Die Länge des eingezeichneten Weges von Kugel 1 beträgt ca. $166.8$ cm.