1. **Problemstellung:** Berechne den Materialbedarf für die Verpackung eines Körpers, der aus einem Quader (Basis) und einer Pyramide (Dach) besteht. 2. **Gegebene Maße:** - Basisquadrat: Seitenlänge $15\,cm$ - Höhe des Quaders: $9\,cm$ - Höhe der Pyramide: $14\,cm$ 3. **Formeln:** - Oberfläche Quader: $$O_{Quader} = 2(ab + bc + ac)$$ wobei $a=b=15\,cm$ und $c=9\,cm$. - Oberfläche Pyramide: $$O_{Pyramide} = Grundfläche + Seitenflächen$$ Grundfläche ist das Quadrat mit $15\,cm$ Seitenlänge. Seitenflächen sind 4 Dreiecke mit Grundseite $15\,cm$ und Höhe der Seitenfläche (Mantellinie) $s$. 4. **Berechnung Quaderoberfläche:** $$O_{Quader} = 2(15 \times 15 + 15 \times 9 + 15 \times 9) = 2(225 + 135 + 135) = 2 \times 495 = 990\,cm^2$$ 5. **Berechnung der Mantellinie $s$ der Pyramide:** Die Höhe der Pyramide ist $14\,cm$, die halbe Grundseite ist $\frac{15}{2} = 7.5\,cm$. $$s = \sqrt{14^2 + 7.5^2} = \sqrt{196 + 56.25} = \sqrt{252.25} = 15.88\,cm$$ 6. **Berechnung der Seitenflächen der Pyramide:** Jedes Dreieck hat Fläche $$A = \frac{1}{2} \times 15 \times 15.88 = 119.1\,cm^2$$ Vier Seitenflächen: $$4 \times 119.1 = 476.4\,cm^2$$ 7. **Berechnung der Grundfläche der Pyramide:** $$15 \times 15 = 225\,cm^2$$ 8. **Gesamtoberfläche der Pyramide:** $$O_{Pyramide} = 225 + 476.4 = 701.4\,cm^2$$ 9. **Gesamtoberfläche des Körpers:** Da die Pyramide auf dem Quader steht, wird die Grundfläche der Pyramide nicht doppelt gezählt. $$O_{gesamt} = O_{Quader} + (O_{Pyramide} - Grundfläche) = 990 + (701.4 - 225) = 990 + 476.4 = 1466.4\,cm^2$$ 10. **Materialbedarf mit 10 % Zuschlag:** $$Materialbedarf = 1466.4 \times 1.10 = 1613.04\,cm^2$$ **Antwort:** Der Materialbedarf für die Verpackung beträgt ca. $1613.04\,cm^2$ inklusive 10 % Zuschlag für Verschnitt und Klebefalze.