1. **Problem statement:** Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen des zusammengesetzten Körpers aus einem Zylinder mit einem Halbkugel-Dach, jeweils in Abhängigkeit von der Seitenlänge $a$. 2. **Formeln und wichtige Regeln:** - Volumen Zylinder: $$V_{Zylinder} = \pi r^2 h$$ - Volumen Halbkugel: $$V_{Halbkugel} = \frac{2}{3} \pi r^3$$ - Oberfläche Zylinder (ohne Deckel): $$O_{Zylinder} = 2 \pi r h$$ - Oberfläche Halbkugel: $$O_{Halbkugel} = 2 \pi r^2$$ 3. **Gegebene Maße:** - Radius $r = \frac{a}{2}$ (da $a$ der Durchmesser ist) - Höhe des Zylinders $h = a$ 4. **Volumen des zusammengesetzten Körpers:** $$V = V_{Zylinder} + V_{Halbkugel} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 a + \frac{2}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3$$ 5. **Zwischenschritte Volumen:** $$V = \pi \frac{a^2}{4} a + \frac{2}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \pi \frac{a^3}{4} + \frac{2}{3} \pi \frac{a^3}{8}$$ $$= \pi \frac{a^3}{4} + \pi \frac{a^3}{12} = \pi a^3 \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{12}\right)$$ $$= \pi a^3 \frac{3+1}{12} = \pi a^3 \frac{4}{12} = \pi \frac{a^3}{3}$$ 6. **Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers:** Die Oberfläche besteht aus der Mantelfläche des Zylinders plus der Oberfläche der Halbkugel (ohne die Grundfläche des Zylinders, da diese unten ist): $$O = O_{Zylinder} + O_{Halbkugel} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$$ 7. **Zwischenschritte Oberfläche:** $$O = 2 \pi \frac{a}{2} a + 2 \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2 \pi \frac{a}{2} a + 2 \pi \frac{a^2}{4}$$ $$= \pi a^2 + \pi \frac{a^2}{2} = \pi a^2 \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \pi a^2 \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \pi a^2$$ 8. **Formel für den Kreisbogens $b_\alpha$:** Der Bogen eines Kreises mit Radius $r$ und Winkel $\alpha$ (in Grad) ist: $$b_\alpha = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$$ **Endergebnis:** - Volumen: $$V = \pi \frac{a^3}{3}$$ - Oberfläche: $$O = \frac{3}{2} \pi a^2$$ - Kreisbogensformel: $$b_\alpha = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$$