1. **Problem a:** Berechne die Länge des Durchmessers AB. Gegeben sind die Seiten AC = 16 cm und BC = 12 cm eines Dreiecks mit einem Punkt C auf dem Halbkreis über AB. Nach dem Thaleskreis ist das Dreieck ACB rechtwinklig am Punkt C, also gilt der Satz des Pythagoras: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ 2. **Berechnung:** $$AB^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$ $$AB = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$$ --- 3. **Problem b:** Überprüfe, ob das Dreieck PQR rechtwinklig ist. Gegeben: $PQ=4.2$ cm, $PR=4$ cm, $RQ=5.8$ cm. Wir prüfen mit dem Satz des Pythagoras, ob eine Seite das Quadrat der Summe der anderen beiden ist. 4. **Berechnung:** Zuerst die Quadrate: $$PQ^2 = 4.2^2 = 17.64$$ $$PR^2 = 4^2 = 16$$ $$RQ^2 = 5.8^2 = 33.64$$ Nun prüfen wir: $$PQ^2 + PR^2 = 17.64 + 16 = 33.64 = RQ^2$$ Da $$PQ^2 + PR^2 = RQ^2$$ gilt, ist das Dreieck PQR rechtwinklig am Punkt $P$. --- 5. **Problem c:** Berechne die Höhe einer Seitenfläche der Pyramide und überprüfe die Mantelfläche. Gegeben: quadratische Pyramide mit Basisbreite $6$ m und Höhe $6.8$ m. 6. **Berechnung der Seitenflächenhöhe:** Die Seitenfläche ist ein Dreieck mit Basis $6$ m und Höhe $h_s$ (gesucht). Die Höhe $h_s$ ist die Höhe der Seitenfläche, die man mit dem Satz des Pythagoras berechnet: $$h_s = \sqrt{6.8^2 + 3^2} = \sqrt{46.24 + 9} = \sqrt{55.24} \approx 7.435 \, m$$ 7. **Berechnung der Mantelfläche:** Die Mantelfläche $M$ ist die Summe der Flächen der vier Seitenflächen: $$M = 4 \times \frac{1}{2} \times 6 \times 7.435 = 2 \times 6 \times 7.435 = 12 \times 7.435 = 89.22 \, m^2$$ Das ist nahe an den angegebenen 88.8 m², kleine Rundungsdifferenzen sind normal. --- 8. **Berechnung des Preises für den Stoff:** Benötigte Stofffläche inklusive 15% Verschnitt: $$A = 1.15 \times 88.8 = 102.12 \, m^2$$ Preis pro Quadratmeter: 42 Gesamtpreis: $$P = 102.12 \times 42 = 4289.04$$ **Endergebnisse:** - a) Durchmesser AB = 20 cm - b) Dreieck PQR ist rechtwinklig - c) Seitenflächenhöhe ca. 7.4 m, Mantelfläche ca. 88.8 m² - Preis für Stoff ca. 4289