1. Problemstellung: Berechne das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche definiert durch die Punkte A(0,0,0), B(2,2,0), C(0,6,0), D(-2,2,0) und der Spitze S(0,0,6). 2. Formel: Das Volumen $V$ einer Pyramide berechnet sich durch $$V = \frac{1}{3} \times \text{Grundfläche} \times \text{Höhe}$$ 3. Schritt: Bestimme die Grundfläche. Die Grundfläche ist ein Viereck mit den Punkten A, B, C, D in der Ebene $z=0$. 4. Schritt: Berechne die Fläche des Vierecks. Wir können das Viereck in zwei Dreiecke aufteilen: Dreieck ABD und Dreieck BCD. 5. Schritt: Berechne die Fläche von Dreieck ABD: - Vektoren: $\vec{AB} = (2-0, 2-0, 0-0) = (2,2,0)$ - $\vec{AD} = (-2-0, 2-0, 0-0) = (-2,2,0)$ - Flächeninhalt Dreieck = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$ 6. Schritt: Kreuzprodukt $\vec{AB} \times \vec{AD}$: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0 - 0 \cdot 2)\mathbf{i} - (2 \cdot 0 - 0 \cdot (-2))\mathbf{j} + (2 \cdot 2 - (-2) \cdot 2)\mathbf{k} = (0,0,8)$$ 7. Schritt: Betrag des Kreuzprodukts: $|\vec{AB} \times \vec{AD}| = 8$ 8. Schritt: Fläche Dreieck ABD = $\frac{1}{2} \times 8 = 4$ 9. Schritt: Berechne die Fläche von Dreieck BCD: - Vektoren: $\vec{BC} = (0-2, 6-2, 0-0) = (-2,4,0)$ - $\vec{BD} = (-2-2, 2-2, 0-0) = (-4,0,0)$ - Flächeninhalt Dreieck = $\frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$ 10. Schritt: Kreuzprodukt $\vec{BC} \times \vec{BD}$: $$\vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 4 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (-2 \cdot 0 - 0 \cdot (-4))\mathbf{j} + (-2 \cdot 0 - 4 \cdot (-4))\mathbf{k} = (0,0,16)$$ 11. Schritt: Betrag des Kreuzprodukts: $|\vec{BC} \times \vec{BD}| = 16$ 12. Schritt: Fläche Dreieck BCD = $\frac{1}{2} \times 16 = 8$ 13. Schritt: Gesamtfläche Grundfläche = $4 + 8 = 12$ 14. Schritt: Höhe der Pyramide ist die $z$-Koordinate der Spitze, da die Grundfläche in $z=0$ liegt, also $h = 6$ 15. Schritt: Volumen berechnen: $$V = \frac{1}{3} \times 12 \times 6 = \frac{1}{3} \times 72 = 24$$ Antwort: Das Volumen der Pyramide beträgt 24 Einheiten³.