1. **Problemstellung:** Berechne das Volumen $V$ der Pyramide mit der Höhe $h=9{,}8$ cm für verschiedene Grundflächen. 2. **Formel:** Das Volumen einer Pyramide berechnet sich allgemein mit $$V = \frac{1}{3} \times G \times h$$ wobei $G$ die Grundfläche ist und $h$ die Höhe der Pyramide. 3. **a) Grundfläche Quadrat mit Seitenlänge $a=6{,}3$ cm:** - Grundfläche $G = a^2 = 6{,}3^2 = 39{,}69$ cm$^2$ - Volumen: $$V = \frac{1}{3} \times 39{,}69 \times 9{,}8 = \frac{1}{3} \times 388{,}662 = 129{,}554$$ - Zwischenschritt mit Kürzung: $$V = \cancel{\frac{1}{3}} \times 39{,}69 \times 9{,}8$$ 4. **b) Grundfläche Rechteck mit $a=11{,}3$ cm, $b=7{,}2$ cm:** - Grundfläche $G = a \times b = 11{,}3 \times 7{,}2 = 81{,}36$ cm$^2$ - Volumen: $$V = \frac{1}{3} \times 81{,}36 \times 9{,}8 = 265{,}97$$ 5. **c) Grundfläche gleichschenkliges Dreieck mit $a=b=5{,}9$ cm, $c=9{,}3$ cm:** - Höhe des Dreiecks $h_t$ berechnen mit dem Satz des Pythagoras: $$h_t = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{5{,}9^2 - \left(\frac{9{,}3}{2}\right)^2} = \sqrt{34{,}81 - 21{,}56} = \sqrt{13{,}25} = 3{,}64$$ - Grundfläche $G = \frac{1}{2} \times c \times h_t = \frac{1}{2} \times 9{,}3 \times 3{,}64 = 16{,}92$ - Volumen: $$V = \frac{1}{3} \times 16{,}92 \times 9{,}8 = 55{,}28$$ 6. **d) Grundfläche gleichseitiges Dreieck mit $a=10{,}8$ cm:** - Höhe des Dreiecks: $$h_t = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10{,}8 = 9{,}35$$ - Grundfläche $G = \frac{1}{2} \times a \times h_t = \frac{1}{2} \times 10{,}8 \times 9{,}35 = 50{,}58$ - Volumen: $$V = \frac{1}{3} \times 50{,}58 \times 9{,}8 = 165{,}95$$ 7. **e) Grundfläche Trapez mit $a=6{,}8$ cm, $c=4{,}2$ cm, Höhe $h_a=5{,}3$ cm:** - Grundfläche $G = \frac{1}{2} \times (a + c) \times h_a = \frac{1}{2} \times (6{,}8 + 4{,}2) \times 5{,}3 = \frac{1}{2} \times 11 \times 5{,}3 = 29{,}15$ - Volumen: $$V = \frac{1}{3} \times 29{,}15 \times 9{,}8 = 95{,}23$$ --- **Aufgabe 3:** Cheops-Pyramide 1. **a) Volumen der ursprünglichen Pyramide:** - Grundfläche quadratisch mit Seitenlänge $a=233$ m - Höhe $h=146$ m - Grundfläche $G = 233^2 = 54289$ m$^2$ - Volumen: $$V = \frac{1}{3} \times 54289 \times 146 = 2646461{,}33$$ m$^3$ 2. **b) Volumen der heutigen Pyramide:** - Seitenlänge $a=227$ m, Höhe $h=137$ m - Grundfläche $G = 227^2 = 51529$ m$^2$ - Volumen heute: $$V_{heute} = \frac{1}{3} \times 51529 \times 137 = 2351993{,}67$$ m$^3$ - Volumen verwittert: $$V_{verwittert} = 2646461{,}33 - 2351993{,}67 = 294467{,}66$$ m$^3$ - Prozentualer Anteil: $$\frac{294467{,}66}{2646461{,}33} \times 100 = 11{,}13\%$$ 3. **c) Modell aus Pappe:** - Wähle Maßstab $1:100$ - Volumen Modell: $$V_{Modell} = \left(\frac{1}{100}\right)^3 \times 2646461{,}33 = 2{,}646$$ m$^3$ (in cm$^3$ umrechnen: $2{,}646 \times 10^6$ cm$^3$) 4. **d) Neigungswinkel:** - (1) Seitenkante: Seitenkante $s = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{227}{2}\right)^2 + 137^2} = \sqrt{113{,}5^2 + 137^2} = \sqrt{12882{,}25 + 18769} = \sqrt{31651{,}25} = 177{,}9$ m - Winkel $\alpha$ zwischen Grundfläche und Seitenkante: $$\tan(\alpha) = \frac{h}{a/2} = \frac{137}{113{,}5} = 1{,}207$$ $$\alpha = \arctan(1{,}207) = 50{,}3^\circ$$ - (2) Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche: $$\sin(\beta) = \frac{h}{s} = \frac{137}{177{,}9} = 0{,}77$$ $$\beta = \arcsin(0{,}77) = 50{,}5^\circ$$ **Endergebnisse:** - Volumen a) $129{,}55$ cm$^3$ - Volumen b) $265{,}97$ cm$^3$ - Volumen c) $55{,}28$ cm$^3$ - Volumen d) $165{,}95$ cm$^3$ - Volumen e) $95{,}23$ cm$^3$ - Cheops Volumen a) $2.646.461{,}33$ m$^3$ - Verwittertes Volumen b) $294.467{,}66$ m$^3$ (11,13 %) - Modellvolumen c) $2{,}646$ m$^3$ - Neigungswinkel Seitenkante d1) $50{,}3^\circ$ - Neigungswinkel Seitenfläche d2) $50{,}5^\circ$