1. **Problemstellung:** Gegeben ist ein Pyramidenstumpf mit Grundfläche 12 cm, Deckfläche 6 cm, Höhe 6 cm. Gesucht sind: a) Parameter- und Koordinatenform der Ebenen ADE und BCG. c) Länge der Strecke zwischen Ein- und Austrittspunkt des Lichtstrahls. 2. **Ebenen ADE und BCG bestimmen:** - Punkte: A=(-6,-6,0), D=(6,-6,0), E=(-3,-3,6), B=(-6,6,0), C=(6,6,0), G=(3,3,6) - Ebene ADE: Vektoren \(\overrightarrow{AD} = (12,0,0)\), \(\overrightarrow{AE} = (3,3,6)\) Parameterform: \(\vec{x} = \vec{A} + s\overrightarrow{AD} + t\overrightarrow{AE} = (-6,-6,0) + s(12,0,0) + t(3,3,6)\) - Ebene BCG: Vektoren \(\overrightarrow{BC} = (12,0,0)\), \(\overrightarrow{BG} = (9,-3,6)\) Parameterform: \(\vec{x} = \vec{B} + u\overrightarrow{BC} + v\overrightarrow{BG} = (-6,6,0) + u(12,0,0) + v(9,-3,6)\) - Koordinatenform ADE: Normalenvektor \(\vec{n} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AE} = (12,0,0) \times (3,3,6) = (0,-72,36)\) Gleichung: \(0(x+6) -72(y+6) +36(z-0) = 0 \Rightarrow -72y -432 +36z = 0 \Rightarrow 2z -4y -24 = 0\) - Koordinatenform BCG: Normalenvektor \(\vec{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BG} = (12,0,0) \times (9,-3,6) = (0,-72,-36)\) Gleichung: \(0(x+6) -72(y-6) -36(z-0) = 0 \Rightarrow -72y +432 -36z = 0 \Rightarrow 2z +4y -24 = 0\) 3. **Länge der Strecke zwischen Ein- und Austrittspunkt:** - Lichtstrahl durch P(-10,22,8) und Q(-14,31,10) - Richtungsvektor \(\vec{r} = Q - P = (-4,9,2)\) - Parametergleichung Lichtstrahl: \(\vec{X}(t) = P + t\vec{r} = (-10,22,8) + t(-4,9,2)\) - Schnitt mit Grundfläche (z=0): \(8 + 2t = 0 \Rightarrow t = -4\) Punkt: \((-10 -4(-4), 22 + 9(-4), 0) = (-10 +16, 22 -36, 0) = (6, -14, 0)\) - Schnitt mit Deckfläche (z=6): \(8 + 2t = 6 \Rightarrow t = -1\) Punkt: \((-10 -4(-1), 22 + 9(-1), 6) = (-10 +4, 22 -9, 6) = (-6, 13, 6)\) - Länge Strecke: \(\sqrt{(6 +6)^2 + (-14 -13)^2 + (0 -6)^2} = \sqrt{12^2 + (-27)^2 + (-6)^2} = \sqrt{144 +729 +36} = \sqrt{909} \approx 30.15\) cm **Antwort:** - a) Parameterform ADE: \(\vec{x} = (-6,-6,0) + s(12,0,0) + t(3,3,6)\) Koordinatenform ADE: \(2z -4y -24 = 0\) Parameterform BCG: \(\vec{x} = (-6,6,0) + u(12,0,0) + v(9,-3,6)\) Koordinatenform BCG: \(2z +4y -24 = 0\) - c) Länge des Lichtstrahlabschnitts im Gefäß: \(\approx 30.15\) cm