1. **Problem 1: Quader Punkte und Raumdiagonale** Gegeben sind die Punkte B(2|4|0), C(-2|4|0), H(-2|0|3) eines achsenparallelen Quaders ABCDEFGH. 2. **Bestimmung der restlichen Punkte:** - Da der Quader achsenparallel ist, verlaufen seine Kanten entlang der Koordinatenachsen. - Punkte B und C liegen auf der gleichen y-Ebene (y=4) und z-Ebene (z=0), unterscheiden sich nur in x. - Punkt H liegt bei (-2,0,3), also gleiche x wie C, y=0 und z=3. 3. **Berechnung der fehlenden Punkte:** - Punkt A liegt auf der gleichen y- und z-Ebene wie B, aber x von C: A = (-2|4|0) - Punkt D liegt auf der gleichen x- und z-Ebene wie B, aber y von H: D = (2|0|0) - Punkt E liegt auf der gleichen x- und y-Ebene wie D, aber z von H: E = (2|0|3) - Punkt F liegt auf der gleichen y- und z-Ebene wie E, aber x von B: F = (2|4|3) - Punkt G liegt auf der gleichen x- und y-Ebene wie H, aber z von B: G = (-2|0|0) 4. **Berechnung der Raumdiagonale BH:** - Die Raumdiagonale BH verbindet B(2|4|0) und H(-2|0|3). - Die Länge der Raumdiagonale ist die Distanz zwischen B und H: $$d = \sqrt{(x_H - x_B)^2 + (y_H - y_B)^2 + (z_H - z_B)^2}$$ $$= \sqrt{(-2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 + (3 - 0)^2}$$ $$= \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41}$$ --- 1. **Problem 2: Raumdreieck Seitenvektoren und Umfang** Gegeben sind Punkte A(4|-2|2), B(0|2|2), C(2|-1|4). 2. **Seiten als Spaltenvektoren:** - Vektor AB = B - A = \begin{pmatrix}0-4 \\ 2-(-2) \\ 2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix} - Vektor BC = C - B = \begin{pmatrix}2-0 \\ -1-2 \\ 4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix} - Vektor CA = A - C = \begin{pmatrix}4-2 \\ -2-(-1) \\ 2-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix} 3. **Berechnung der Seitenlängen:** - $|AB| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ - $|BC| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$ - $|CA| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ 4. **Umfang des Dreiecks:** $$U = |AB| + |BC| + |CA| = 4\sqrt{2} + \sqrt{17} + 3$$ 5. **Spiegelung am Punkt P(4|4|3):** - Die Spiegelung eines Punktes M an P ist $M' = 2P - M$ - Für A': $$A' = 2 \cdot (4,4,3) - (4,-2,2) = (8,8,6) - (4,-2,2) = (4,10,4)$$ - Für B': $$B' = 2 \cdot (4,4,3) - (0,2,2) = (8,8,6) - (0,2,2) = (8,6,4)$$ - Für C': $$C' = 2 \cdot (4,4,3) - (2,-1,4) = (8,8,6) - (2,-1,4) = (6,9,2)$$ --- 1. **Problem 3: Spiegelung eines Dreiecks an der x-z-Ebene** Gegeben sind Punkte A(2|3|2), B(3|5|1), C(5|5|5). 2. **Spiegelung an der x-z-Ebene:** - Die x-z-Ebene ist definiert durch y=0. - Spiegelung an dieser Ebene ändert das Vorzeichen der y-Koordinate, x und z bleiben gleich. 3. **Berechnung der Spiegelpunkte:** - $A' = (2, -3, 2)$ - $B' = (3, -5, 1)$ - $C' = (5, -5, 5)$ --- **Endergebnisse:** - Quader fehlende Punkte: A(-2|4|0), D(2|0|0), E(2|0|3), F(2|4|3), G(-2|0|0) - Raumdiagonale BH Länge: $\sqrt{41}$ - Dreieck Seitenvektoren: AB $\begin{pmatrix}-4 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}$, BC $\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}$, CA $\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$ - Umfang: $4\sqrt{2} + \sqrt{17} + 3$ - Spiegelpunkte am P: A'(4|10|4), B'(8|6|4), C'(6|9|2) - Spiegelung an x-z-Ebene: A'(2|-3|2), B'(3|-5|1), C'(5|-5|5)