1. Das Problem lautet: In einem Kreis mit Radius $r=8$ cm soll ein Rechteck so eingezeichnet werden, dass alle vier Eckpunkte auf der Kreislinie liegen. Gesucht sind die Längen der Rechtecksseiten. 2. Wichtig ist: Wenn ein Rechteck in einem Kreis liegt und alle Eckpunkte auf dem Kreis sind, dann ist das Rechteck ein sogenanntes Sehnenrechteck. Die Diagonalen des Rechtecks entsprechen dem Durchmesser des Kreises. 3. Formel: Die Diagonale $d$ des Rechtecks ist gleich dem Durchmesser des Kreises, also $d=2r=16$ cm. 4. Bezeichnen wir die Seitenlängen des Rechtecks mit $a$ und $b$. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras für die Diagonale: $$a^2 + b^2 = d^2 = 16^2 = 256$$ 5. Da das Rechteck symmetrisch im Kreis liegt, können wir die Seitenlängen als Funktionen eines Winkels $ heta$ zwischen der Diagonale und einer Seite betrachten: $$a = 2r \cos(\theta) = 16 \cos(\theta)$$ $$b = 2r \sin(\theta) = 16 \sin(\theta)$$ 6. Die Seitenlängen hängen also vom Winkel $ heta$ ab, der zwischen 0 und $\frac{\pi}{2}$ liegt. Für jeden Winkel $ heta$ gilt: $$a^2 + b^2 = (16 \cos(\theta))^2 + (16 \sin(\theta))^2 = 256 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)) = 256$$ 7. Das bestätigt, dass die Diagonale immer 16 cm ist. Die Seitenlängen können also variieren, solange sie die Gleichung erfüllen. 8. Beispiel: Für ein Quadrat ist $a=b$, also $$2a^2 = 256 \Rightarrow a^2 = 128 \Rightarrow a = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31 \text{ cm}$$ 9. Zusammenfassung: Die Seitenlängen $a$ und $b$ des Rechtecks mit Eckpunkten auf dem Kreisradius 8 cm erfüllen $$a^2 + b^2 = 256$$ und können durch $$a = 16 \cos(\theta), \quad b = 16 \sin(\theta)$$ für $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ bestimmt werden. Das ist die allgemeine Lösung für die Seitenlängen des Rechtecks im Kreis mit Radius 8 cm.