1. Problema 6: Avem un romb ABCD cu $\angle ABC = 120^\circ$ și $AB = 12$ cm. Trebuie să calculăm: a) Perimetrul rombului. b) Lungimile diagonalelor rombului. d) Aria rombului ABCD. 2. Formula pentru perimetrul rombului este: $$P = 4 \times l$$ unde $l$ este lungimea laturii. 3. Pentru diagonale, folosim proprietatea că diagonalele unui romb sunt perpendiculare și se pot calcula cu formula: $$d_1 = l \sqrt{2 + 2 \cos \theta}$$ $$d_2 = l \sqrt{2 - 2 \cos \theta}$$ unde $\theta = 120^\circ$. 4. Calculăm cosinusul: $$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$ 5. Calculăm diagonalele: $$d_1 = 12 \sqrt{2 + 2 \times (-\frac{1}{2})} = 12 \sqrt{2 - 1} = 12 \sqrt{1} = 12$$ $$d_2 = 12 \sqrt{2 - 2 \times (-\frac{1}{2})} = 12 \sqrt{2 + 1} = 12 \sqrt{3}$$ 6. Perimetrul: $$P = 4 \times 12 = 48\, \text{cm}$$ 7. Aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor: $$A = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{12 \times 12 \sqrt{3}}{2} = 6 \times 12 \sqrt{3} = 72 \sqrt{3}\, \text{cm}^2$$ --- 8. Problema 8: Demonstrarea că în paralelogramul ABCD cu diagonalele care se intersectează în O, ariile triunghiurilor AOE, BOC, COD sunt egale și fiecare este $\frac{1}{4}$ din aria paralelogramului. 9. Observăm că diagonalele se intersectează în O și împart paralelogramul în patru triunghiuri cu arii egale. 10. Deoarece diagonalele se înjumătățesc reciproc, fiecare triunghi are aria egală cu $\frac{1}{4}$ din aria paralelogramului. --- 11. Problema 9: Pentru dreptunghiul ABCD și punctul interior E, demonstrarea egalității: $$S_{ABCD} = 2 \times (S_{ABE} + S_{CDE}) = 2 \times (S_{AOE} + S_{BOC})$$ 12. Observăm că dreptunghiul este împărțit în triunghiuri și folosim proprietățile ariilor pentru a arăta egalitatea. --- 13. Problema 10: În triunghiul ABC, M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, AC, BC. Demonstrarea că: $$S_{AMN} = S_{BMP} = S_{CNP} = \frac{1}{3} S_{ABC}$$ 14. Folosim faptul că triunghiurile formate de mijloacele laturilor au arii egale și sunt fiecare o treime din aria triunghiului original.