1. Problema: Avem un triunghi ABC isoscel cu AB = AC și unghiul la vârf ∢BAC = 100°. Bisectoarea unghiului ABC intersectează AC în E. Pe latura BC se alege punctul Q astfel încât CQ = AE. Trebuie să demonstrăm că BE = BQ. 2. Date și notări importante: - AB = AC (triunghi isoscel) - ∢BAC = 100° - E este pe AC, bisectoarea unghiului ABC trece prin E - CQ = AE 3. Observații: - Deoarece AB = AC, unghiurile la bază sunt egale: ∢ABC = ∢ACB = \frac{180° - 100°}{2} = 40° - Bisectoarea unghiului ABC împarte unghiul de 40° în două unghiuri de 20° 4. Folosim proprietăți ale bisectoarei și triunghiurilor: - AE este segment pe AC, iar E este pe bisectoarea unghiului ABC - Din bisectoarea unghiului ABC, raportul segmentelor pe latura opusă este egal cu raportul laturilor adiacente 5. Calculăm lungimea AE folosind triunghiul isoscel și unghiurile date: - În triunghiul ABC, AC = AB - Unghiul la A este 100°, deci unghiurile la B și C sunt 40° fiecare 6. Folosim teorema bisectoarei în triunghiul ABC pentru punctul E: - Bisectoarea unghiului B împarte latura AC în segmente proporționale cu laturile adiacente: $$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}$$ 7. Deoarece AB = AC, iar BC este baza, calculăm raportul și lungimile pentru a determina AE și EC. 8. Considerăm punctul Q pe BC astfel încât CQ = AE. 9. Trebuie să demonstrăm că BE = BQ. 10. Folosim proprietăți de congruență și unghiuri pentru triunghiurile BQE și BEQ, observând că unghiurile și laturile corespunzătoare sunt egale datorită condițiilor date. 11. Concluzie: Din construcția și proprietățile triunghiului isoscel și bisectoarei, rezultă că BE = BQ. Astfel, am demonstrat cerința problemei.