1. Das Problem: Wir wollen den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks berechnen. 2. Definition: Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks. 3. Formel und Vorgehen: - Berechne die Mittelpunkte zweier Seiten. - Bestimme die Gleichungen der Mittelsenkrechten zu diesen Seiten. - Löse das Gleichungssystem dieser beiden Geraden, um den Schnittpunkt zu finden. 4. Beispiel: Gegeben die Punkte $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$. 5. Berechnung des Mittelpunkts der Seite $AB$: $$M_{AB} = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$ 6. Steigung der Seite $AB$: $$m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ 7. Steigung der Mittelsenkrechten zu $AB$ (negativer Kehrwert): $$m_{\perp AB} = -\frac{1}{m_{AB}}$$ 8. Gleichung der Mittelsenkrechten zu $AB$: $$y - y_{M_{AB}} = m_{\perp AB}(x - x_{M_{AB}})$$ 9. Analog für Seite $BC$ Mittelsenkrechte bestimmen. 10. Lösen des Gleichungssystems der beiden Mittelsenkrechten ergibt den Umkreismittelpunkt $O(x_o,y_o)$. 11. Zusammenfassung: Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Seiten, berechnet durch Mittelpunkte, Steigungen und Lösen des Gleichungssystems.