1. Enunțul problemei: Avem patrulaterul convex ABCD cu unghiurile $\angle ABC = 45^\circ$, $\angle BAD = 150^\circ$, iar triunghiul ADC este dreptunghic isoscel cu ipotenuza AC. Trebuie să calculăm măsura unghiului $\angle BDC$. 2. Observații și formule: - Într-un triunghi dreptunghic isoscel, unghiurile ascuțite sunt egale cu $45^\circ$. - Dacă $\triangle ADC$ este dreptunghic isoscel cu ipotenuza AC, atunci laturile $AD$ și $DC$ sunt egale și unghiul drept este în $D$. - Vom folosi proprietățile unghiurilor în patrulater și triunghi. 3. Determinăm unghiurile din $\triangle ADC$: - $\angle ADC = 90^\circ$ (deoarece este dreptunghic în D) - $\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ$ (deoarece este isoscel) 4. Unghiul $\angle BAD = 150^\circ$ este dat. 5. Unghiul $\angle ABC = 45^\circ$ este dat. 6. Observăm că punctele A, B, C, D formează un patrulater convex. Vom calcula unghiul $\angle BDC$ folosind proprietățile unghiurilor înscrise și relațiile dintre unghiuri. 7. Unghiul $\angle BDC$ este unghiul format la D între segmentele DB și DC. 8. Deoarece $\triangle ADC$ este dreptunghic isoscel, $AD = DC$. 9. Unghiul $\angle BDC$ este unghi exterior pentru $\triangle ADC$ în punctul D, deci: $$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$ 10. Verificăm dacă acest unghi este compatibil cu celelalte date. Deoarece $\angle ADC = 90^\circ$ și $\angle BDC$ este unghi exterior la D, măsura lui este $90^\circ$. Răspuns final: $\boxed{90^\circ}$