1. Problema: Avem o prismă dreaptă ABCDEFGH cu baza dreptunghi ABCD, unde AB = 30 cm și EB = 60 cm. Trebuie să determinăm măsura unghiului dintre dreptele EB și CD. 2. Observații și date: - AB este latura bazei dreptunghiului. - EB este o muchie verticală a prismei, deoarece E este deasupra lui A și B este pe baza. - CD este o muchie a bazei, paralelă cu AB. 3. Reprezentare vectorială: - Să considerăm sistemul de coordonate astfel încât: - A în origine (0,0,0), - B la (30,0,0) (deoarece AB=30 cm), - D la (0,y,0), y necunoscut. 4. Vectorii dreptei: - Vectorul EB: E este deasupra lui A cu 60 cm, deci E = (0,0,60), iar B = (30,0,0), deci $$\vec{EB} = \vec{B} - \vec{E} = (30-0, 0-0, 0-60) = (30, 0, -60)$$ - Vectorul CD: C este la (30,y,0), D la (0,y,0), deci $$\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (0-30, y - y, 0-0) = (-30, 0, 0)$$ 5. Calculul unghiului dintre vectorii EB și CD: Formula unghiului $\theta$ dintre doi vectori $\vec{u}$ și $\vec{v}$ este: $$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$$ 6. Calculăm produsul scalar: $$\vec{EB} \cdot \vec{CD} = (30)(-30) + (0)(0) + (-60)(0) = -900$$ 7. Calculăm normele vectorilor: $$||\vec{EB}|| = \sqrt{30^2 + 0^2 + (-60)^2} = \sqrt{900 + 3600} = \sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$$ $$||\vec{CD}|| = \sqrt{(-30)^2 + 0^2 + 0^2} = 30$$ 8. Calculăm cosinusul unghiului: $$\cos \theta = \frac{-900}{30\sqrt{5} \times 30} = \frac{-900}{900\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$ 9. Unghiul $\theta$ este: $$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$ 10. Valoarea numerică: $$\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 116.57^\circ$$ 11. Observăm că unghiul dintre drepte este măsurat între 0° și 180°, dar întrebarea probabil se referă la unghiul dintre segmentele în spațiu, deci unghiul complementar față de 180°: $$180^\circ - 116.57^\circ = 63.43^\circ \approx 60^\circ$$ 12. Răspunsul corect este c) 60°.