1. **Problemstellung:** Wir sollen die Begriffe aus Aufgabe 4 bearbeiten, und zwar sowohl allgemein mit den Koordinaten $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$ als auch konkret mit den Punkten $P(-1|4|3)$ und $Q(1|2|4)$. 2. **Ortsvektor von $P$:** Der Ortsvektor eines Punktes $P$ ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt $P$. Allgemein: $$\vec{p} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$$ Konkret: $$\vec{p} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$ 3. **Verbindungsvektor (Vektor) von $P$ nach $Q$:** Der Verbindungsvektor ist $$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{pmatrix}$$ Konkret: $$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 2 - 4 \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 4. **Gegenvektor:** Der Gegenvektor zu $\vec{PQ}$ ist $$-\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ 5. **Betrag des Vektors $\vec{PQ}$:** Der Betrag ist die Länge des Vektors: $$|\vec{PQ}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$ 6. **Einheitsvektor:** Der Einheitsvektor in Richtung von $\vec{PQ}$ ist $$\vec{e} = \frac{1}{|\vec{PQ}|} \vec{PQ} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$ 7. **Mittelpunkt $M$ der Strecke von $P$ nach $Q$:** Der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der Koordinaten: $$M = \left( \frac{p_1 + q_1}{2} \Big| \frac{p_2 + q_2}{2} \Big| \frac{p_3 + q_3}{2} \right)$$ Konkret: $$M = \left( \frac{-1 + 1}{2} \Big| \frac{4 + 2}{2} \Big| \frac{3 + 4}{2} \right) = (0|3|3.5)$$ 8. **Ortsvektor des Mittelpunktes $M$:** $$\vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3.5 \end{pmatrix}$$ **Zusammenfassung:** - Ortsvektor $P$: $\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ - Verbindungsvektor $\vec{PQ}$: $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ - Gegenvektor: $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ - Betrag: $3$ - Einheitsvektor: $\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$ - Mittelpunkt $M$: $(0|3|3.5)$ - Ortsvektor $M$: $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3.5 \end{pmatrix}$ Damit sind alle Begriffe ausführlich und verständlich bearbeitet.