1. **Problemstellung:** Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers aus einem Kegel und einer Halbkugel mit Radius $r=2{,}5$ cm und Kegelhöhe $h=3$ cm. 2. **Formeln:** - Volumen Kegel: $$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ - Volumen Halbkugel: $$V_{Halbkugel} = \frac{2}{3} \pi r^3$$ - Oberfläche Kegel (Mantelfläche): $$A_{Kegel} = \pi r s$$ mit $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ - Oberfläche Halbkugel (Kugeloberfläche halbiert): $$A_{Halbkugel} = 2 \pi r^2$$ 3. **Volumen berechnen:** - Kegelvolumen: $$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \pi (2{,}5)^2 \times 3 = \frac{1}{3} \pi \times 6{,}25 \times 3 = \pi \times 6{,}25 = 6{,}25\pi$$ - Halbkugelvolumen: $$V_{Halbkugel} = \frac{2}{3} \pi (2{,}5)^3 = \frac{2}{3} \pi \times 15{,}625 = \frac{31{,}25}{3} \pi = 10{,}4167\pi$$ - Gesamtvolumen: $$V = V_{Kegel} + V_{Halbkugel} = 6{,}25\pi + 10{,}4167\pi = 16{,}6667\pi$$ - Numerisch: $$V \approx 16{,}6667 \times 3{,}1416 = 52{,}36 \text{ cm}^3$$ 4. **Oberflächeninhalt berechnen:** - Berechne die Mantellinie $s$ des Kegels: $$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2{,}5^2 + 3^2} = \sqrt{6{,}25 + 9} = \sqrt{15{,}25} \approx 3{,}905$$ - Kegeloberfläche (Mantelfläche): $$A_{Kegel} = \pi r s = \pi \times 2{,}5 \times 3{,}905 = 9{,}7625\pi$$ - Halbkugeloberfläche (ohne Grundfläche, da diese am Kegel anliegt): $$A_{Halbkugel} = 2 \pi r^2 = 2 \pi \times (2{,}5)^2 = 2 \pi \times 6{,}25 = 12{,}5\pi$$ - Grundfläche des Kegels (Kreisfläche): $$A_{Grund} = \pi r^2 = \pi \times 6{,}25 = 6{,}25\pi$$ - Gesamtoberfläche: $$A = A_{Kegel} + A_{Halbkugel} - A_{Grund} = 9{,}7625\pi + 12{,}5\pi - 6{,}25\pi = (9{,}7625 + 12{,}5 - 6{,}25)\pi = 16{,}0125\pi$$ - Numerisch: $$A \approx 16{,}0125 \times 3{,}1416 = 50{,}29 \text{ cm}^2$$ **Antwort:** - Volumen: $$\boxed{52{,}36 \text{ cm}^3}$$ - Oberfläche: $$\boxed{50{,}29 \text{ cm}^2}$$