1. Problem: Data su temena trougla A(-2,2), B(6,4), C(4,-4). Treba odrediti: a) dužinu težišne duži tb, b) dužinu stranice BC, c) površinu trougla, d) težište trougla. 2. Formula i pravila: - Težišna duž je dužina od temena do sredine suprotne stranice. - Dužina stranice između tačaka $P(x_1,y_1)$ i $Q(x_2,y_2)$ je $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ - Površina trougla sa temenima $A$, $B$, $C$ može se izračunati formulom: $$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$ - Težište trougla je sredina težišnih duži i računa se kao $$G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$$ 3. Izračunavanje sredine stranice AC (za težišnu duž tb): $$M = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{2 + (-4)}{2}\right) = (1, -1)$$ 4. Dužina težišne duži tb (od temena B do sredine AC): $$tb = \sqrt{(1 - 6)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 5. Dužina stranice BC: $$BC = \sqrt{(4 - 6)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$ 6. Površina trougla: $$S = \frac{1}{2} |(-2)(4 - (-4)) + 6(-4 - 2) + 4(2 - 4)|$$ $$= \frac{1}{2} |(-2)(8) + 6(-6) + 4(-2)| = \frac{1}{2} |-16 - 36 - 8| = \frac{1}{2} | -60| = 30$$ 7. Težište trougla: $$G = \left(\frac{-2 + 6 + 4}{3}, \frac{2 + 4 + (-4)}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}\right)$$