1. **مسئله اول: یافتن طول‌های AB، BC و CH در مثلث با رئوس A(3,1)، B(-3,5)، C(-2,-4)** 2. طول AB را با فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه می‌کنیم: $$AB=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ 3. طول BC را به همین صورت محاسبه می‌کنیم: $$BC=\sqrt{(-2 + 3)^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$$ 4. برای یافتن طول CH، ابتدا معادله خط AB را به فرم استاندارد می‌نویسیم: معادله AB از نقاط A و B: شیب خط AB: $$m = \frac{5 - 1}{-3 - 3} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$$ معادله خط AB: $$y - 1 = -\frac{2}{3}(x - 3) \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + 3$$ 5. فاصله نقطه C از خط AB برابر است با طول CH: فرمول فاصله نقطه $(x_0,y_0)$ از خط $Ax + By + C = 0$: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ معادله خط AB را به فرم استاندارد می‌نویسیم: $$y = -\frac{2}{3}x + 3 \Rightarrow \frac{2}{3}x + y - 3 = 0 \Rightarrow 2x + 3y - 9 = 0$$ 6. فاصله CH: $$CH = \frac{|2(-2) + 3(-4) - 9|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|-4 - 12 - 9|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-25|}{\sqrt{13}} = \frac{25}{\sqrt{13}}$$ --- 7. **مسئله دوم: تعیین مقادیر a و b به طوری که نقطه $(4,5.4) = (3a, 2a + b + 1)$ نسبت به نقطه $(-2,6) = (b, b + 7)$ انعکاس باشد.** 8. قانون انعکاس نقطه نسبت به نقطه دیگر: اگر نقطه $P'$ انعکاس نقطه $P$ نسبت به نقطه $M$ باشد، آنگاه $M$ وسط پاره‌خط $PP'$ است: $$M = \left(\frac{x_P + x_{P'}}{2}, \frac{y_P + y_{P'}}{2}\right)$$ 9. با توجه به داده‌ها: $$P = (b, b+7), \quad P' = (3a, 2a + b + 1), \quad M = (-2, 6)$$ 10. معادلات وسط نقطه: $$-2 = \frac{b + 3a}{2} \Rightarrow b + 3a = -4$$ $$6 = \frac{(b + 7) + (2a + b + 1)}{2} = \frac{2b + 2a + 8}{2} = b + a + 4$$ 11. معادله دوم را ساده می‌کنیم: $$6 = b + a + 4 \Rightarrow b + a = 2$$ 12. حال دستگاه معادلات داریم: $$\begin{cases} b + 3a = -4 \\ b + a = 2 \end{cases}$$ 13. معادله دوم را از اول کم می‌کنیم: $$(b + 3a) - (b + a) = -4 - 2 \Rightarrow 2a = -6 \Rightarrow a = -3$$ 14. مقدار a را در معادله دوم قرار می‌دهیم: $$b - 3 = 2 \Rightarrow b = 5$$ --- 15. **مسئله سوم: یافتن نقطه اوج تابع درجه دوم $h_t(t) = 30t - 2t^2$** 16. تابع درجه دوم به فرم کلی: $$h_t(t) = at^2 + bt + c$$ که در اینجا: $$a = -2, \quad b = 30, \quad c = 0$$ 17. نقطه اوج (رأس) تابع درجه دوم با فرمول: $$t_{vertex} = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2 \times (-2)} = -\frac{30}{-4} = 7.5$$ 18. مقدار ارتفاع در نقطه اوج: $$h_t(7.5) = 30 \times 7.5 - 2 \times (7.5)^2 = 225 - 2 \times 56.25 = 225 - 112.5 = 112.5$$ --- **پاسخ نهایی:** - طول AB برابر است با $2\sqrt{13}$. - طول BC برابر است با $\sqrt{82}$. - طول CH برابر است با $\frac{25}{\sqrt{13}}$. - مقادیر $a = -3$ و $b = 5$ هستند. - نقطه اوج تابع در $t=7.5$ و ارتفاع اوج برابر $112.5$ است.