1. 問題陳述：
已知點 $A(2,1)$、$B(6,9)$，點 $P$ 在直線 $AB$ 上，且 $AP : PB = 3 : 1$，求點 $P$ 的坐標。
2. 使用線段內分點公式：
若點 $P$ 在 $A$ 與 $B$ 之間，且比例為 $m:n$，則
$$P = \left( \frac{m x_B + n x_A}{m+n}, \frac{m y_B + n y_A}{m+n} \right)$$
3. 代入數值：
比例 $AP:PB=3:1$，故 $m=3$, $n=1$。
$$P = \left( \frac{3 \times 6 + 1 \times 2}{3+1}, \frac{3 \times 9 + 1 \times 1}{3+1} \right) = \left( \frac{18 + 2}{4}, \frac{27 + 1}{4} \right) = (5, 7)$$
4. 另一解為點 $P$ 在直線 $AB$ 延長線上，比例為 $AP:PB = -1:3$（外分點），
$$P = \left( \frac{-1 \times 6 + 3 \times 2}{-1+3}, \frac{-1 \times 9 + 3 \times 1}{-1+3} \right) = \left( \frac{-6 + 6}{2}, \frac{-9 + 3}{2} \right) = (0, -3)$$
5. 第二題問題陳述：
已知向量 $a = (2,4)$，$b = (1,1)$，$t$ 為實數，求 $|a + t b|$ 的最小值及對應的 $t$。
6. 公式與說明：
向量長度平方為
$$|a + t b|^2 = (a + t b) \cdot (a + t b) = |a|^2 + 2 t (a \cdot b) + t^2 |b|^2$$
7. 計算內積與長度：
$$|a|^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$$
$$a \cdot b = 2 \times 1 + 4 \times 1 = 6$$
$$|b|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$
8. 寫出函數：
$$f(t) = 20 + 12 t + 2 t^2$$
9. 對 $t$ 求導並令導數為零求極值：
$$f'(t) = 12 + 4 t = 0 \Rightarrow t = -3$$
10. 計算最小值：
$$|a + (-3) b|^2 = 20 + 12 \times (-3) + 2 \times (-3)^2 = 20 - 36 + 18 = 2$$
11. 因此最小值為
$$|a + t b| = \sqrt{2}$$，當 $t = -3$ 時取得。
Point Division Vector Length Bd25Cc
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