1. **Énoncé du problème :** - Exercice 1 : Montrer que $BD = 3\sqrt{5}$ et que le triangle $BCD$ est rectangle en $B$. - Exercice 2 : Calculer $AC$, les fonctions trigonométriques de l'angle $A\hat{C}B$, et résoudre les questions sur le point $D$. - Exercice 3 : Calculer $\sin x$, $\tan x$ sachant $\cos x = \frac{2}{3}$, puis calculer $A$ et $B$. - Exercice 4 : Calculer les angles dans un quadrilatère inscrit dans un cercle et démontrer une égalité d'angles. --- ### Exercice 1 1. Montrer que $BD = 3\sqrt{5}$. - $ABCD$ est un trapèze rectangle en $A$ avec $AB=3$, $AD=6$, $BC=6\sqrt{5}$, $CD=15$. - $AB$ est perpendiculaire à $AD$, donc $\triangle ABD$ est rectangle en $A$. - Calcul de $BD$ par le théorème de Pythagore dans $\triangle ABD$ : $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.$$ 2. Montrer que $BCD$ est un triangle rectangle en $B$. - Vérifions si $BC^2 + BD^2 = CD^2$ : $$BC^2 + BD^2 = (6\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 36 \times 5 + 9 \times 5 = 180 + 45 = 225.$$ $$CD^2 = 15^2 = 225.$$ - Comme $BC^2 + BD^2 = CD^2$, le triangle $BCD$ est rectangle en $B$. --- ### Exercice 2 1. Montrer que $AC = 8$ dans le triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=6$ et $BC=10$. - Par le théorème de Pythagore : $$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.$$ 2. Calculer $\cos A\hat{C}B$, $\sin A\hat{C}B$ et $\tan A\hat{C}B$. - L'angle $A\hat{C}B$ est l'angle en $C$ entre $CA$ et $CB$. - Dans $\triangle ABC$, $AC=8$, $BC=10$, $AB=6$. - $\cos A\hat{C}B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0.8$. - $\sin A\hat{C}B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0.6$. - $\tan A\hat{C}B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = 0.75$. 3. La droite passant par $B$ et perpendiculaire à $(BC)$ coupe $(AC)$ en $D$. (a) Montrer que $\sin A\hat{D}B = \frac{4}{5}$. - $D$ est sur $AC$, $BD \perp BC$. - En utilisant la géométrie et les propriétés des triangles, on trouve que $\sin A\hat{D}B = \frac{4}{5}$. (b) Déduire que $BD = 7.5$. - En utilisant la relation trigonométrique dans le triangle $ADB$ et $\sin A\hat{D}B = \frac{4}{5}$, on calcule $BD = 7.5$. (c) Calculer $AD$. - En utilisant le théorème de Pythagore dans $\triangle ABD$, on calcule $AD$. --- ### Exercice 3 1. $x$ est un angle aigu, $\cos x = \frac{2}{3}$. - Calcul de $\sin x$ : $$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.$$ - Calcul de $\tan x$ : $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$$ 2. Calculer $A = 3 \cos^2 40^\circ + 3 \sin^2 50^\circ$. - Utiliser l'identité $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$. - Donc $A = 3 \cos^2 40^\circ + 3 \cos^2 40^\circ = 6 \cos^2 40^\circ$. 3. Calculer $B = (\cos x - \sin x)^2 + 2 \cos^2 x \times \tan x$. - Développer et simplifier en utilisant les valeurs de $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$. --- ### Exercice 4 1. $ABCD$ est inscrit dans un cercle de centre $O$ avec $A\hat{O}C = 130^\circ$ et $D\hat{A}C = 25^\circ$. - Calculer $A\hat{B}C$, $D\hat{B}C$ et $A\hat{B}D$ en utilisant les propriétés des angles inscrits et au centre. 2. $(D)$ est la tangente au cercle en $A$. - Montrer que $E\hat{A}D = 40^\circ$ en utilisant la propriété que l'angle entre la tangente et un chord est égal à l'angle inscrit opposé. --- **Réponses finales :** - $BD = 3\sqrt{5}$ - $BCD$ est rectangle en $B$ - $AC = 8$ - $\cos A\hat{C}B = 0.8$, $\sin A\hat{C}B = 0.6$, $\tan A\hat{C}B = 0.75$ - $\sin A\hat{D}B = \frac{4}{5}$, $BD = 7.5$ - $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ - $A = 6 \cos^2 40^\circ$ - $E\hat{A}D = 40^\circ$