1. مسئله: سه نقطه A، B و C روی یک دایره قرار دارند. دو ارتفاع AH و BG یکدیگر را در نقطه D قطع می‌کنند و امتداد AH با دایره در نقطه M برخورد می‌کند. باید ثابت کنیم پاره‌خط‌های DH و MH برابرند. 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - ارتفاع در مثلث خطی است که از یک رأس به ضلع مقابل عمود می‌شود. - نقاط A، B، C روی دایره هستند، پس مثلث ABC محیطی است. - خواص زاویه‌های محیطی و قطر دایره را استفاده می‌کنیم. 3. اثبات: - چون AH و BG ارتفاع هستند، پس AH 0 و BG 0 با اضلاع مقابلشان می‌سازند. - نقطه D تقاطع دو ارتفاع است، پس D مرکز تقاطع ارتفاع‌ها (اورثوسنت) مثلث است. - نقطه M روی دایره و امتداد AH است، پس AM قطر دایره است. - زاویه‌های 1DH و 1MH را بررسی می‌کنیم. 4. با توجه به اینکه AM قطر دایره است، زاویه 1BMA برابر 90 درجه است (زاویه محیطی مقابل قطر). - همچنین، چون D روی ارتفاع BG است، زاویه 1BDH برابر 90 درجه است. 5. مثلث‌های 1DHM و 1MHD را بررسی می‌کنیم: - زاویه‌های 1DHM و 1MHD برابرند. - ضلع DH و MH روبروی این زاویه‌ها هستند. 6. نتیجه می‌گیریم که مثلث 1DHM متساوی‌الساقین است و بنابراین DH = MH. پاسخ نهایی: پاره‌خط‌های DH و MH برابرند.