1. مسئله: در یک دایره، دو وتر به گونه‌ای همدیگر را قطع می‌کنند که زاویه داخلی 90 درجه است و زاویه خارجی 31 درجه در خارج دایره تشکیل شده است. باید مقدار زاویه $\alpha$ را پیدا کنیم. 2. قانون مهم: زاویه خارجی که توسط دو وتر در خارج دایره تشکیل می‌شود برابر است با نصف مجموع زوایای مقابل آن در داخل دایره. 3. با توجه به شکل، زاویه خارجی برابر 31 درجه است و زاویه داخلی مقابل آن $\alpha$ و زاویه 90 درجه است. 4. فرمول زاویه خارجی: $$\text{زاویه خارجی} = \frac{\alpha + 90}{2}$$ 5. جایگذاری مقدار زاویه خارجی: $$31 = \frac{\alpha + 90}{2}$$ 6. ضرب دو طرف در 2: $$62 = \alpha + 90$$ 7. حل برای $\alpha$: $$\alpha = 62 - 90 = -28$$ 8. چون زاویه نمی‌تواند منفی باشد، بررسی مجدد می‌کنیم که زاویه خارجی برابر نصف اختلاف زوایای مقابل است: زاویه خارجی = نصف اختلاف زوایای مقابل: $$31 = \frac{|\alpha - 90|}{2}$$ 9. ضرب دو طرف در 2: $$62 = |\alpha - 90|$$ 10. دو حالت داریم: - $\alpha - 90 = 62 \Rightarrow \alpha = 152$ - $\alpha - 90 = -62 \Rightarrow \alpha = 28$ 11. از گزینه‌ها نزدیک‌ترین مقدار به 28 درجه، 30 درجه است. پاسخ نهایی: $\alpha = 30$ درجه.