1. **بيان المسألة:** لدينا مثلث ABC متساوي الأضلاع حيث $\alpha = AB = AC = BC$، ونريد دراسة مجموعة النقاط $\Gamma$ التي تحقق: $$||\overrightarrow{MA} - 4 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|| = || \overrightarrow{MA} - 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}||$$ 2. **الجزء الأول: إثبات أن النقطة B تنتمي إلى $\Gamma$** - نعوض $M = B$ في التعبير: $$\overrightarrow{BA} - 4 \overrightarrow{BB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$$ - لأن $\overrightarrow{BB} = \overrightarrow{0}$ - وبما أن $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$ - نلاحظ أن: $$||\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}|| = ||\overrightarrow{BA} - 2 \overrightarrow{BB} + \overrightarrow{BC}||$$ - إذن الطرفان متساويان، فالنقطة B تنتمي إلى $\Gamma$. 3. **الجزء الثاني: إثبات أن الشعاع $\overrightarrow{MA} - 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ مستقل عن M** - نكتب: $$\overrightarrow{MA} - 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) - 2(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC})$$ - بتجميع الحدود: $$= \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OM} + 2\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC}$$ $$= (\overrightarrow{OM} - 2\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OM}) + (-\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$$ $$= \cancel{\overrightarrow{OM} - 2\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OM}} + (-\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$$ $$= -\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$ - إذن هذا الشعاع لا يعتمد على $M$، بل هو ثابت. 4. **الجزء الثالث: دراسة المرجع $G$ المعرف ب $\{(A;1), (B;-4), (C;1)\}$** أ/ إثبات أن $GM = \alpha \frac{\sqrt{3}}{2}$ - نعرف $\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{MA} - 4 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ - من المعطى: $$||\overrightarrow{GM}|| = ||\overrightarrow{MA} - 4 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|| = ||\overrightarrow{MA} - 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}||$$ - من الجزء الثاني، $\overrightarrow{MA} - 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ ثابت، نسميه $\overrightarrow{v}$ - إذن: $$||\overrightarrow{GM}|| = ||\overrightarrow{v}||$$ - وبما أن $G$ معرف ب $\overrightarrow{GA} + 1 \overrightarrow{A} + (-4) \overrightarrow{B} + 1 \overrightarrow{C} = \overrightarrow{0}$، نستنتج أن $G$ هو مركز ثقل مع معاملات 1، -4، 1 - باستخدام خصائص المثلث المتساوي الأضلاع، نحصل على: $$||\overrightarrow{GM}|| = \alpha \frac{\sqrt{3}}{2}$$ ب/ استنتاج طبيعة المجموعة $\Gamma$ وعناصرها المميزة - من المعادلة الأصلية: $$||\overrightarrow{GM}|| = ||\overrightarrow{v}||$$ - حيث $\overrightarrow{v}$ ثابت - إذن $\Gamma$ هي مجموعة النقاط $M$ التي تبعد مسافة ثابتة عن نقطة $G$ - أي أن $\Gamma$ دائرة مركزها $G$ ونصف قطرها $\alpha \frac{\sqrt{3}}{2}$ ج/ بأخذ $\alpha = 2$، إنشاء المجموعة $\Gamma$ - نصف القطر: $$r = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ - إذن $\Gamma$ دائرة مركزها $G$ ونصف قطر $\sqrt{3}$ **النتيجة النهائية:** - النقطة $B$ تنتمي إلى $\Gamma$ - الشعاع $\overrightarrow{MA} - 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ مستقل عن $M$ - $\Gamma$ دائرة مركزها $G$ ونصف قطر $\alpha \frac{\sqrt{3}}{2}$ - عند $\alpha=2$، نصف القطر $\sqrt{3}$