1. **بيان المسألة:** لدينا مثلث ABC ونريد دراسة المرجع $G_k$ المعرف بالمعاملات $k$، $-1$، و$1$ على التوالي للنقاط $A$, $B$, و$C$. 2. **متى يكون المرجع $G_k$ موجودًا؟** المرجع $G_k$ موجود إذا كان مجموع المعاملات لا يساوي صفرًا، أي: $$k + (-1) + 1 \neq 0 \Rightarrow k \neq 0$$ إذاً المرجع $G_k$ موجود لكل $k \neq 0$. 3. **إثبات أن $AG_k = BC$ عندما يكون $k$ موجودًا:** نعبر عن $G_k$ كنقطة مرجعية: $$\vec{OG_k} = \frac{k \vec{OA} - 1 \vec{OB} + 1 \vec{OC}}{k - 1 + 1} = \frac{k \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OC}}{k}$$ نحسب المتجه $\vec{AG_k}$: $$\vec{AG_k} = \vec{OG_k} - \vec{OA} = \frac{k \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OC}}{k} - \vec{OA} = \frac{k \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OC} - k \vec{OA}}{k} = \frac{- \vec{OB} + \vec{OC}}{k}$$ لكن $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$، إذن: $$\vec{AG_k} = \frac{\vec{BC}}{k}$$ عندما $k=1$، يكون $\vec{AG_1} = \vec{BC}$. 4. **إثبات أن الرباعي $AB C_1$ متوازي أضلاع:** نعتبر النقطة $C_1$ هي النقطة المرجعية عندما $k=1$، أي: $$\vec{OC_1} = \frac{1 \vec{OA} - 1 \vec{OB} + 1 \vec{OC}}{1} = \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OC}$$ نحسب المتجه $\vec{AC_1}$: $$\vec{AC_1} = \vec{OC_1} - \vec{OA} = (\vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OC}) - \vec{OA} = - \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{BC}$$ وبالتالي، $\vec{AC_1} = \vec{BC}$ مما يعني أن $AB C_1$ متوازي أضلاع لأن الضلع $AC_1$ يوازي $BC$. 5. **تعيين مجموعة النقاط $G_k$ عندما يتغير $k$ في المجال $[1; +\infty[$:** عندما يتغير $k$ في هذا المجال، فإن النقطة $G_k$ تتحرك على المستقيم الذي يمر عبر $A$ ويمتد في اتجاه متجه $\vec{BC}$ لأن: $$\vec{AG_k} = \frac{\vec{BC}}{k}$$ وبما أن $k \geq 1$، فإن $\vec{AG_k}$ يتغير من $\vec{BC}$ إلى متجهات أقصر باتجاه $A$. **النتيجة النهائية:** - المرجع $G_k$ موجود لكل $k \neq 0$. - عندما $k=1$، $AG_k = BC$. - الرباعي $AB C_1$ متوازي أضلاع. - مجموعة النقاط $G_k$ هي نقاط على المستقيم المار بـ $A$ والمتجه باتجاه $\vec{BC}$ مع معاملات $\frac{1}{k}$ حيث $k \in [1, +\infty[$.