1. مسئله: مساحت مربعی را پیدا کنیم که یکی از رئوس آن نقطه $A(-1,2)$ است و یک ضلع آن روی خطی است که از نقاط $B(-1,3)$ و $C(-3,4)$ می‌گذرد. 2. ابتدا شیب خط $BC$ را محاسبه می‌کنیم با فرمول شیب: $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4-3}{-3-(-1)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$$ 3. معادله خطی که از $B$ می‌گذرد و شیب $m=-\frac{1}{2}$ دارد: $$y-y_0=m(x-x_0) \Rightarrow y-3=-\frac{1}{2}(x+1)$$ 4. معادله خط را به شکل استاندارد $ax+by+c=0$ می‌آوریم: $$y-3=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \Rightarrow y+\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}=0$$ ضرب در 2 برای حذف کسر: $$2y + x - 5=0$$ 5. ضلع مربع روی این خط است. ضلع دیگر مربع باید عمود بر این خط باشد، پس شیب ضلع عمود: $$m_{perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$$ 6. طول ضلع مربع برابر فاصله نقطه $A$ تا خط $BC$ است، چون $A$ راس مربع است و ضلع روی خط $BC$ است. 7. فاصله نقطه $A(-1,2)$ تا خط $2y + x - 5=0$ با فرمول فاصله: $$d=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}=\frac{|1\times(-1) + 2\times 2 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}=\frac{|-1 + 4 - 5|}{\sqrt{1 + 4}}=\frac{|-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$ 8. این فاصله طول ضلع مربع است. مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع: $$\text{مساحت} = d^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} = 0.8$$ 9. گزینه‌های داده شده: 1) 1 2) \frac{1}{5} = 0.2 3) 5 4) \sqrt{5} \times 4 \approx 8.94 مساحت محاسبه شده 0.8 با هیچ کدام برابر نیست. احتمالاً منظور طول ضلع است یا گزینه‌ها اشتباه است. اگر طول ضلع را در نظر بگیریم: $$d=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.894$$ که نزدیک به گزینه 4 نیست. 10. بررسی مجدد: اگر ضلع روی خط $BC$ باشد و $A$ راس مربع باشد، ضلع مربع برابر فاصله $A$ تا خط است. پس مساحت مربع: $$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\frac{4}{5}$$ که برابر با 0.8 است و در گزینه‌ها نیست. 11. احتمالاً گزینه 2 یعنی $\frac{1}{5}$ اشتباه تایپی است و باید $\frac{4}{5}$ باشد. پس پاسخ درست: $$\boxed{\frac{4}{5}}$$ اگر بخواهیم نزدیک‌ترین گزینه را انتخاب کنیم، گزینه 2 یعنی $\frac{1}{5}$ کمترین فاصله را دارد ولی دقیق نیست. بنابراین پاسخ نهایی مساحت مربع برابر است با $\frac{4}{5}$ که با محاسبات ما به دست آمد.