1. مسئله: دایره‌ای با شعاع 4 داریم و نقطه‌ای خارج از دایره به فاصله 1 از مرکز دایره است. می‌خواهیم تعداد وترهایی که طولشان 2 است و از این نقطه عبور می‌کنند را پیدا کنیم. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - معادله دایره: $$x^2 + y^2 = r^2$$ که در اینجا $$r=4$$ است. - طول وتر $$l$$ که از نقطه $$P$$ خارج از دایره می‌گذرد و به دایره مماس است، باید $$l=2$$ باشد. - فاصله نقطه $$P$$ از مرکز دایره $$d=1$$ است. 3. تحلیل مسئله: - نقطه $$P$$ خارج از دایره است چون $$d=1 < r=4$$، پس در داخل دایره است، بنابراین باید بررسی کنیم که چند وتر با طول 2 از این نقطه می‌گذرد. 4. طول وتر در دایره به فاصله نقطه از مرکز و زاویه آن بستگی دارد. برای وتری که از نقطه $$P$$ می‌گذرد و طولش $$l=2$$ است، باید معادله طول وتر را بنویسیم و تعداد راه‌حل‌ها را بیابیم. 5. با توجه به هندسه، وترهایی که از نقطه $$P$$ می‌گذرند و طولشان $$l=2$$ است، تعدادشان برابر تعداد نقاط تقاطع دایره با دایره‌ای به مرکز $$P$$ و شعاع $$l/2=1$$ است. 6. فاصله مراکز دو دایره برابر $$d=1$$ است و شعاع‌ها $$r_1=4$$ و $$r_2=1$$. 7. برای دو دایره با شعاع‌های $$r_1$$ و $$r_2$$ و فاصله مراکز $$d$$، تعداد نقاط تقاطع به صورت زیر است: - اگر $$d > r_1 + r_2$$ هیچ تقاطعی نیست. - اگر $$d = r_1 + r_2$$ یک نقطه تقاطع است. - اگر $$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$$ دو نقطه تقاطع است. - اگر $$d = |r_1 - r_2|$$ یک نقطه تقاطع است. - اگر $$d < |r_1 - r_2|$$ هیچ تقاطعی نیست. 8. در اینجا $$d=1$$، $$r_1=4$$، $$r_2=1$$، پس $$|r_1 - r_2|=3$$ است و $$d=1 < 3$$. 9. بنابراین هیچ نقطه تقاطعی بین این دو دایره وجود ندارد و هیچ وتری با طول 2 که از نقطه $$P$$ بگذرد وجود ندارد. پاسخ نهایی: تعداد وترهایی که طولشان 2 است و از نقطه $$P$$ می‌گذرند صفر است.