1. সমস্যাটি হলো: ত্রিভুজ CMN এর ক্ষেত্রফল 9 বর্গ সেমি এবং BC = 12 সেমি, AM এর মান নির্ণয় করতে হবে। 2. প্রথমে, আমরা বুঝি যে BC = 12 সেমি এবং ত্রিভুজ ABC তে B কোণটি সমকোণ। 3. ত্রিভুজ CMN এর ক্ষেত্রফল সূত্র হলো $$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \text{ভিত্তি} \times \text{উচ্চতা}$$ 4. এখানে, CN এবং MN যথাক্রমে ভিত্তি এবং উচ্চতা হতে পারে। 5. যেহেতু BC = 12 সেমি, এবং M AC রেখার উপর অবস্থিত, AM + MC = AC। 6. আমরা ধরে নিতে পারি, AM = x সেমি। 7. ত্রিভুজ CMN এর ক্ষেত্রফল 9 বর্গ সেমি, তাই $$9 = \frac{1}{2} \times CN \times MN$$ 8. CN এবং MN এর মান BC এবং AM এর সাথে সম্পর্কিত। 9. BC = 12 সেমি, তাই CN = 12 - x 10. MN = AM = x 11. তাই, $$9 = \frac{1}{2} \times (12 - x) \times x$$ 12. সমীকরণটি সরলীকরণ করি: $$9 = \frac{1}{2} (12x - x^2)$$ 13. দুই পাশে 2 গুণ করি: $$18 = 12x - x^2$$ 14. সমীকরণটি পুনরায় সাজাই: $$x^2 - 12x + 18 = 0$$ 15. এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে, আমরা সূত্র ব্যবহার করব: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ যেখানে $a=1, b=-12, c=18$ 16. গণনা করি: $$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \times 1 \times 18}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{2}$$ 17. $$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ তাই, $$x = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 3\sqrt{2}$$ 18. যেহেতু AM একটি দৈর্ঘ্য, তাই ধনাত্মক মান গ্রহণ করব: $$AM = 6 - 3\sqrt{2}$$ সেমি 19. সুতরাং, AM এর মান হলো $$6 - 3\sqrt{2}$$ সেমি।