1. Problema 9: Determinar as coordenadas dos vértices do retângulo [ABCD] sabendo B(6, 2), P(7/2, 1/2) e M(4, 2), onde P é o ponto de interseção das diagonais e M é o ponto médio de [CD]. 2. Fórmulas importantes: - O ponto de interseção das diagonais de um retângulo é o ponto médio das diagonais, logo $$P = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}\right)$$. - O ponto médio de um segmento $$[CD]$$ é $$M = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right)$$. - Como os lados do retângulo são paralelos aos eixos coordenados, os lados são horizontais ou verticais. 3. Determinar as coordenadas de C e D: - Sabemos que $$M = (4, 2) = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right)$$. - Como os lados são paralelos aos eixos, $$C$$ e $$D$$ têm a mesma coordenada em $$x$$ ou $$y$$, pois $$[CD]$$ é um lado horizontal ou vertical. - Supondo $$[CD]$$ horizontal, $$y_C = y_D$$, então $$2 = \frac{y_C + y_D}{2} = y_C$$. - Logo, $$y_C = y_D = 2$$. - Para $$x_C$$ e $$x_D$$, $$4 = \frac{x_C + x_D}{2} \Rightarrow x_C + x_D = 8$$. 4. Determinar as coordenadas de A: - Pelo ponto P, $$P = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$$. - Sabemos $$x_C + x_A = 2 \times \frac{7}{2} = 7$$ e $$y_C + y_A = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$. - Como $$y_C = 2$$, então $$y_A = 1 - 2 = -1$$. - Para $$x_A$$, $$x_A = 7 - x_C$$. 5. Determinar as coordenadas de B e D: - Sabemos $$B = (6, 2)$$. - Pelo retângulo, $$A$$ e $$B$$ têm a mesma coordenada em $$y$$ ou $$x$$, e $$B$$ e $$C$$ também. - Como $$B$$ e $$C$$ são vértices adjacentes, e $$C$$ tem $$y_C = 2$$, $$B$$ tem $$y_B = 2$$, confirmado. - Para $$D$$, $$x_D = 8 - x_C$$. 6. Resumo: - $$y_C = y_D = 2$$ - $$x_C + x_D = 8$$ - $$x_A = 7 - x_C$$ - $$y_A = -1$$ - $$B = (6, 2)$$ 7. Como $$[ABCD]$$ é retângulo com lados paralelos aos eixos, $$A$$ e $$B$$ têm mesma $$y$$, logo $$y_A = y_B = 2$$, mas calculamos $$y_A = -1$$, contradição. Logo $$[CD]$$ não é horizontal, é vertical. 8. Supondo $$[CD]$$ vertical, $$x_C = x_D$$, então $$4 = \frac{x_C + x_D}{2} = x_C$$. - Logo $$x_C = x_D = 4$$. - Para $$y_C$$ e $$y_D$$, $$2 = \frac{y_C + y_D}{2} \Rightarrow y_C + y_D = 4$$. 9. Pelo ponto P: - $$\frac{x_A + x_C}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_A + 4 = 7 \Rightarrow x_A = 3$$ - $$\frac{y_A + y_C}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow y_A + y_C = 1$$ 10. Como $$A$$ e $$B$$ são adjacentes e $$B = (6, 2)$$, e lados paralelos aos eixos, $$A$$ e $$B$$ têm mesma $$x$$ ou $$y$$. - Se $$A$$ e $$B$$ têm mesma $$y$$, $$y_A = y_B = 2$$. - Então $$y_C = 1 - y_A = 1 - 2 = -1$$. 11. Como $$C$$ e $$D$$ têm $$x_C = x_D = 4$$ e $$y_C + y_D = 4$$, com $$y_C = -1$$, então $$y_D = 5$$. 12. Resumo final: - $$A = (3, 2)$$ - $$B = (6, 2)$$ - $$C = (4, -1)$$ - $$D = (4, 5)$$ --- Problema 11: Determinar as coordenadas dos pontos A, B e C sabendo D(2, 3), E(-4, 1) e F(0, -2), com [ABCD] retângulo e [DEF] triângulo, E pertencente a [AB] e F pertencente a [BC], e lados do retângulo paralelos aos eixos. 1. Como [ABCD] é retângulo com lados paralelos aos eixos, e D(2, 3), então: - Se D é vértice, então A e C têm coordenadas relacionadas. 2. Como E pertence a [AB], e E(-4, 1), e F pertence a [BC], F(0, -2), podemos usar as propriedades dos segmentos para determinar A, B e C. 3. Como D(2, 3), e lados paralelos aos eixos, então: - Se D é o vértice inferior esquerdo, então A está na mesma linha horizontal ou vertical. 4. Como E está em [AB], e E(-4, 1), e B está entre A e C, podemos deduzir as coordenadas de A e B. 5. Por simplicidade, considerando D(2, 3) como vértice inferior esquerdo, então: - A(2, y_A) - B(x_B, y_B) - C(x_C, 3) 6. Como E está em [AB], e E(-4, 1), e F está em [BC], e F(0, -2), podemos montar equações para encontrar A, B e C. 7. Como E está em [AB], e E(-4, 1), então E está entre A e B, logo: - $$\frac{y_E - y_A}{y_B - y_A} = \frac{x_E - x_A}{x_B - x_A}$$ 8. Como F está em [BC], e F(0, -2), então F está entre B e C, logo: - $$\frac{y_F - y_B}{y_C - y_B} = \frac{x_F - x_B}{x_C - x_B}$$ 9. Como lados paralelos aos eixos, podemos assumir: - $$A = (2, y_A)$$ - $$B = (x_B, y_A)$$ (mesma linha horizontal que A) - $$C = (x_B, 3)$$ (mesma linha vertical que B e mesma linha horizontal que D) 10. Usando E(-4, 1) em [AB]: - $$y_E = y_A = 1$$ - $$x_E$$ está entre $$x_A = 2$$ e $$x_B$$, mas $$x_E = -4$$, que não está entre 2 e $$x_B$$, contradição. 11. Portanto, ajustar suposições para: - $$A = (x_A, 3)$$ - $$B = (x_B, 3)$$ - $$C = (x_B, y_C)$$ 12. Como E(-4, 1) está em [AB], e A e B têm mesma $$y = 3$$, então $$y_E = 3$$, mas $$y_E = 1$$, contradição. 13. Ajustar para: - $$A = (x_A, y_A)$$ - $$B = (x_B, y_A)$$ - $$C = (x_B, y_C)$$ - $$D = (x_A, y_C) = (2, 3)$$ 14. Como D = (2, 3), então $$x_A = 2$$ e $$y_C = 3$$. 15. Como E está em [AB], com $$y_A$$ constante, e E(-4, 1), então $$y_A = 1$$ e $$x_E$$ entre $$x_A = 2$$ e $$x_B$$. 16. Como $$x_E = -4$$, que não está entre 2 e $$x_B$$, então $$x_B < 2$$ para que $$-4$$ esteja entre $$x_B$$ e 2. 17. Como F está em [BC], com $$x_B$$ constante, e F(0, -2), então $$x_B = 0$$ e $$y_F$$ entre $$y_A = 1$$ e $$y_C = 3$$. 18. Como $$y_F = -2$$, que não está entre 1 e 3, contradição. 19. Ajustar para $$B = (x_B, y_B)$$ e $$C = (x_C, y_C)$$ com $$x_B = x_C$$ e $$y_B = y_C$$. 20. Como $$D = (2, 3)$$, $$A = (2, y_A)$$, $$B = (x_B, y_A)$$, $$C = (x_B, 3)$$. 21. Como E está em [AB], $$E = (-4, 1)$$, então $$y_A = 1$$ e $$x_B$$ entre 2 e -4, logo $$x_B < -4$$. 22. Como F está em [BC], $$F = (0, -2)$$, então $$x_B = 0$$ e $$y_B$$ entre 1 e 3, mas $$y_F = -2$$, contradição. 23. Conclusão: pontos dados não compatíveis com retângulo com lados paralelos aos eixos e pontos E e F nas posições indicadas. --- Problema 12: Determinar as coordenadas do ponto G, baricentro do triângulo [ABC] com C(-1, 4), A(-2, 1) e M(2, 1) sendo M o ponto médio de [BC]. 1. Fórmula do baricentro: - O baricentro $$G$$ é o ponto médio das medianas, dado por $$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$. 2. Como $$M$$ é ponto médio de $$[BC]$$, então: - $$M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = (2, 1)$$. 3. Sabendo $$C = (-1, 4)$$, temos: - $$2 = \frac{x_B - 1}{2} \Rightarrow x_B - 1 = 4 \Rightarrow x_B = 5$$ - $$1 = \frac{y_B + 4}{2} \Rightarrow y_B + 4 = 2 \Rightarrow y_B = -2$$ 4. Agora temos $$B = (5, -2)$$. 5. Calcular $$G$$: - $$x_G = \frac{-2 + 5 - 1}{3} = \frac{2}{3}$$ - $$y_G = \frac{1 - 2 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$$ 6. Portanto, $$G = \left(\frac{2}{3}, 1\right)$$. --- Resposta final: - Exercício 9: $$A = (3, 2), B = (6, 2), C = (4, -1), D = (4, 5)$$ - Exercício 11: Dados incompatíveis para determinar A, B e C com as condições dadas. - Exercício 12: $$G = \left(\frac{2}{3}, 1\right)$$