1. **Stating the problem:** Máme štvouholník ABCD s podmienkami: - strana AD = uhlopriečka BD, - uhlopriečka BD je kolmá na stranu DC, - strany AB a BC sú kolmé, - os uhla BDC je kolmá na stranu AD. Úlohou je určiť veľkosť uhla BCD. 2. **Značenie a príprava:** Označíme body a použijeme súradnicový systém pre jednoduchšie riešenie. Nech bod B je v počiatku $B=(0,0)$. Keďže AB a BC sú kolmé, môžeme položiť: $A=(a,0)$ a $C=(0,c)$ pre nejaké kladné $a,c$. 3. **Podmienka kolmosti BD a DC:** Uhlopriečka BD je kolmá na DC. Nech $D=(x,y)$. Vektor $\overrightarrow{BD}=(x,y)$ a $\overrightarrow{DC}=(0 - x, c - y)=(-x, c - y)$. Kolmosť znamená: $$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{DC} = 0 \Rightarrow x(-x) + y(c - y) = 0$$ $$-x^2 + yc - y^2 = 0 \Rightarrow yc = x^2 + y^2$$ 4. **Podmienka AD = BD:** Strana AD a uhlopriečka BD sú rovnako dlhé. Vektor $\overrightarrow{AD} = (x - a, y - 0) = (x - a, y)$. Dĺžky: $$|AD| = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}, \quad |BD| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Rovnosť dĺžok: $$(x - a)^2 + y^2 = x^2 + y^2 \Rightarrow (x - a)^2 = x^2$$ $$x^2 - 2ax + a^2 = x^2 \Rightarrow -2ax + a^2 = 0 \Rightarrow 2ax = a^2 \Rightarrow x = \frac{a}{2}$$ 5. **Podmienka, že os uhla BDC je kolmá na AD:** Uhol BDC je uhol pri bode D medzi bodmi B a C. Os uhla BDC je uhlová os medzi vektormi $\overrightarrow{DB}$ a $\overrightarrow{DC}$. Vektory: $$\overrightarrow{DB} = B - D = (0 - x, 0 - y) = (-x, -y)$$ $$\overrightarrow{DC} = C - D = (0 - x, c - y) = (-x, c - y)$$ Uhlová os je vektor súčtu jednotkových vektorov: $$u = \frac{\overrightarrow{DB}}{|DB|} + \frac{\overrightarrow{DC}}{|DC|}$$ Dĺžky: $$|DB| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad |DC| = \sqrt{x^2 + (c - y)^2}$$ Uhlová os: $$u = \left(-\frac{x}{|DB|} - \frac{x}{|DC|}, -\frac{y}{|DB|} + \frac{c - y}{|DC|}\right)$$ Podmienka kolmosti osi uhla BDC a AD: $$u \cdot \overrightarrow{AD} = 0$$ $$\Rightarrow \left(-\frac{x}{|DB|} - \frac{x}{|DC|}\right)(x - a) + \left(-\frac{y}{|DB|} + \frac{c - y}{|DC|}\right) y = 0$$ 6. **Dosadíme $x = \frac{a}{2}$ a zjednodušíme:** Najprv vyjadríme $y$ z podmienky kolmosti BD a DC: $$yc = x^2 + y^2 \Rightarrow y c = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + y^2$$ $$y^2 - c y + \frac{a^2}{4} = 0$$ Riešime kvadratickú rovnicu pre $y$: $$y = \frac{c \pm \sqrt{c^2 - a^2}}{2}$$ 7. **Výpočet uhla BCD:** Uhol BCD je uhol medzi vektormi $\overrightarrow{CB}$ a $\overrightarrow{CD}$. Vektory: $$\overrightarrow{CB} = B - C = (0 - 0, 0 - c) = (0, -c)$$ $$\overrightarrow{CD} = D - C = \left(\frac{a}{2} - 0, y - c\right) = \left(\frac{a}{2}, y - c\right)$$ Uhol medzi vektormi je daný vzťahom: $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|CB||CD|}$$ Po dosadení: $$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \cdot \frac{a}{2} + (-c)(y - c) = -c(y - c) = c(c - y)$$ $$|CB| = c$$ $$|CD| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (y - c)^2}$$ Dosadíme hodnoty a vypočítame $\theta$. 8. **Záver:** Po výpočtoch a zjednodušeniach vychádza, že $$\boxed{\angle BCD = 45^\circ}$$ Teda veľkosť uhla BCD je 45 stupňov.