1. **הבעיה:** במשולש ישר זווית ABC עם זווית ישרה ב-B, AD הוא חוצה זווית של הזווית A. יש להוכיח כי $BD < DC$. 2. **נתונים:** - $\angle B = 90^\circ$ - AD חוצה זווית A, כלומר $\angle BAD = \angle CAD$ 3. **כלל חוצה זווית במשולש:** חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס לשתי הצלעות האחרות. כלומר, אם AD חוצה את הזווית A, אז: $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$ 4. **הוכחה ש-$BD < DC$:** - במשולש ישר זווית ABC, הזווית ב-B היא $90^\circ$. - לכן, לפי משפט פיתגורס: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ - מכיוון ש-$AC$ היא היתר, היא הארוכה ביותר בצלעות המשולש. - לכן, $AC > AB$. 5. לפי כלל חוצה הזווית: $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$ - מאחר ש-$AB < AC$, נקבל: $$\frac{BD}{DC} < 1$$ - כלומר: $$BD < DC$$ 6. **סיכום:** הראינו כי יחס הצלעות $BD$ ו-$DC$ שווה ליחס $AB$ ל-$AC$, וכיוון ש-$AB < AC$, אז $BD < DC$. **תשובה סופית:** $BD < DC$