1. Задачата: Имаме правоаголник ABCD каде што BC=2\cdot AB. Точката P е на страната AD така што AD=BP. Треба да најдеме големината на аголот \angle CPD. 2. Запишуваме што знаеме: Во правоаголникот ABCD, аглите се правоаголни (90 степени). BC=2\cdot AB значи дека страната BC е двојно подолга од AB. 3. Нека AB=x. Тогаш BC=2x. Страната AD е иста како BC, значи AD=2x. 4. Точката P е на AD и AD=BP. Значи должината на BP е иста како AD, односно BP=2x. 5. Сега ќе го поставиме координатниот систем за полесно решавање. Нека точката A е во почетокот (0,0). Тогаш: - A=(0,0) - B=(x,0) - C=(x,2x) - D=(0,2x) 6. Точката P е на AD, која е вертикална линија од (0,0) до (0,2x). Нека P има координати (0,p), каде што 0\leq p \leq 2x. 7. Должината BP е растојанието помеѓу B=(x,0) и P=(0,p): $$BP=\sqrt{(x-0)^2+(0-p)^2}=\sqrt{x^2+p^2}$$ 8. Според условот, AD=BP, односно: $$2x=\sqrt{x^2+p^2}$$ 9. Квадрираме двете страни: $$4x^2=x^2+p^2$$ 10. Изразуваме p^2: $$p^2=4x^2 - x^2=3x^2$$ 11. Значи: $$p=\sqrt{3}x$$ 12. Сега ги имаме координатите на точката P=(0,\sqrt{3}x). 13. Треба да најдеме аголот \angle CPD, каде што точките се: - C=(x,2x) - P=(0,\sqrt{3}x) - D=(0,2x) 14. Векторите за аголот во точка P се: $$\overrightarrow{PC} = (x - 0, 2x - \sqrt{3}x) = (x, 2x - \sqrt{3}x)$$ $$\overrightarrow{PD} = (0 - 0, 2x - \sqrt{3}x) = (0, 2x - \sqrt{3}x)$$ 15. За да најдеме агол помеѓу векторите \overrightarrow{PC} и \overrightarrow{PD}, користиме формулата: $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{PC}| |\overrightarrow{PD}|}$$ 16. Пресметуваме скаларен производ: $$\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PD} = x \cdot 0 + (2x - \sqrt{3}x)(2x - \sqrt{3}x) = (2x - \sqrt{3}x)^2$$ 17. Должините на векторите: $$|\overrightarrow{PC}| = \sqrt{x^2 + (2x - \sqrt{3}x)^2}$$ $$|\overrightarrow{PD}| = |2x - \sqrt{3}x|$$ 18. Пресметуваме (2x - \sqrt{3}x): $$2x - \sqrt{3}x = x(2 - \sqrt{3})$$ 19. Скаларен производ: $$ (2x - \sqrt{3}x)^2 = x^2 (2 - \sqrt{3})^2$$ 20. Должини: $$|\overrightarrow{PC}| = \sqrt{x^2 + x^2 (2 - \sqrt{3})^2} = x \sqrt{1 + (2 - \sqrt{3})^2}$$ $$|\overrightarrow{PD}| = x |2 - \sqrt{3}|$$ 21. Изразуваме косинусот: $$\cos \theta = \frac{x^2 (2 - \sqrt{3})^2}{x \sqrt{1 + (2 - \sqrt{3})^2} \cdot x |2 - \sqrt{3}|} = \frac{(2 - \sqrt{3})^2}{|2 - \sqrt{3}| \sqrt{1 + (2 - \sqrt{3})^2}}$$ 22. Поради позитивност, $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$. 23. Значи: $$\cos \theta = \frac{(2 - \sqrt{3})^2}{(2 - \sqrt{3}) \sqrt{1 + (2 - \sqrt{3})^2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{1 + (2 - \sqrt{3})^2}}$$ 24. Пресметуваме $(2 - \sqrt{3})^2$: $$ (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$$ 25. Значи: $$\cos \theta = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{1 + 7 - 4\sqrt{3}}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}$$ 26. За да го поедноставиме знаменателот, множиме со спротивниот израз: $$\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$$ 27. Значи: $$\cos \theta = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$$ 28. Множиме бројител и именител со спротивниот израз на именителот за да го поедноставиме: $$\cos \theta = \frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{2}$$ 29. Пресметуваме бројител: $$ (2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3} = (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (2 - 3) = \sqrt{3} - 1$$ 30. Значи: $$\cos \theta = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$ 31. Овој резултат одговара на агол од 30 степени, бидејќи: $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$ А нашата вредност е малку помала, но всушност: $$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} \approx \frac{1.732 - 1}{2} = \frac{0.732}{2} = 0.366$$ 32. Ова одговара на агол околу 68.2 степени. 33. Заклучок: Големината на аголот \angle CPD е приближно 68 степени. **Одговор:** $\angle CPD \approx 68^\circ$