1. Задачата е да определим ъглите между правите в правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1 с дадени размери $BC=2$ и $AA1=4$. Точка $P$ е на ръба $DD1$ с $DP=1$, точка $M$ е среда на $BB1$, а точка $O$ е център на квадрата $ABCD$. 2. Първо определяме координатите на точките, като приемем: - $A=(0,0,0)$ - $B=(2,0,0)$ (тъй като $BC=2$) - $C=(2,2,0)$ - $D=(0,2,0)$ - $A1=(0,0,4)$ (височина $AA1=4$) - $B1=(2,0,4)$ - $C1=(2,2,4)$ - $D1=(0,2,4)$ 3. Точка $P$ е на ръба $DD1$ и $DP=1$, следователно: $$P = D + \frac{1}{4}(D1 - D) = (0,2,0) + \frac{1}{4}(0,0,4) = (0,2,1)$$ 4. Точка $M$ е среда на $BB1$: $$M = \frac{B + B1}{2} = \frac{(2,0,0) + (2,0,4)}{2} = (2,0,2)$$ 5. Точка $O$ е център на квадрата $ABCD$: $$O = \frac{A + C}{2} = \frac{(0,0,0) + (2,2,0)}{2} = (1,1,0)$$ 6. Задача а) Определете ъгъла между правите $OP$ и $D1M$. - Вектор $\overrightarrow{OP} = P - O = (0,2,1) - (1,1,0) = (-1,1,1)$ - Вектор $\overrightarrow{D1M} = M - D1 = (2,0,2) - (0,2,4) = (2,-2,-2)$ 7. Формулата за ъгъла $\theta$ между два вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$ е: $$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$$ 8. Изчисляваме скаларното произведение: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)(2) + (1)(-2) + (1)(-2) = -2 - 2 - 2 = -6$$ 9. Дължините на векторите: $$|\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ 10. Замествайки във формулата: $$\cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$$ 11. Следователно: $$\theta = \arccos(-1) = 180^\circ$$ Ъгълът между правите $OP$ и $D1M$ е $180^\circ$, тоест те са колинеарни, но в противоположни посоки. 12. Задача б) Определете ъгъла между правите $D1M$ и $AC$. - Вектор $\overrightarrow{AC} = C - A = (2,2,0) - (0,0,0) = (2,2,0)$ - Вектор $\overrightarrow{D1M} = (2,-2,-2)$ (от по-горе) 13. Изчисляваме скаларното произведение: $$\vec{v} \cdot \vec{w} = (2)(2) + (-2)(2) + (-2)(0) = 4 - 4 + 0 = 0$$ 14. Дължините на векторите: $$|\vec{v}| = 2\sqrt{3}$$ (от по-горе) $$|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 15. Замествайки във формулата: $$\cos \theta = \frac{0}{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}} = 0$$ 16. Следователно: $$\theta = \arccos(0) = 90^\circ$$ Ъгълът между правите $D1M$ и $AC$ е $90^\circ$. **Отговор:** а) $180^\circ$ б) $90^\circ$