1. **Déterminer la mesure de l’angle θ dans les triangles donnés**. **a)** Dans le triangle RTU, on sait que RT est perpendiculaire à SU, donc l'angle en R est un angle droit de 90°. 2. On utilise la somme des angles dans un triangle qui est toujours égale à 180°: $$\theta + 39{,}4^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$ 3. Calculons $\theta$: $$\theta = 180^\circ - 39{,}4^\circ - 90^\circ = 50{,}6^\circ$$ **b)** Dans le triangle EDG, l'angle en E est droit (90°). On connaît FG = 52,3° et DG = 15,1 m. 4. La somme des angles dans un triangle est 180°, donc: $$\theta + 52{,}3^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$ 5. Calculons $\theta$: $$\theta = 180^\circ - 52{,}3^\circ - 90^\circ = 37{,}7^\circ$$ 2. **Déterminer la longueur du côté RT dans le triangle RST**. 1. Données: $\angle R = 38^\circ$, $SU = 43$ cm, $\angle STU = 52^\circ$, RT est vertical, SU est horizontal. 2. On peut utiliser la loi des sinus ou trigonométrie. Ici, on utilise la trigonométrie dans le triangle rectangle. 3. Puisque RT est vertical et SU horizontal, $\angle R = 38^\circ$ est l'angle adjacent à SU. 4. Utilisons la tangente: $$\tan(38^\circ) = \frac{RT}{SU}$$ 5. Isolons RT: $$RT = SU \times \tan(38^\circ) = 43 \times \tan(38^\circ)$$ 6. Calculons: $$RT \approx 43 \times 0{,}7813 = 33{,}6 \text{ cm}$$ 3. **Déterminer la valeur de x dans les figures données**. **a)** Triangle rectangle avec angles $63{,}2^\circ$ et $41{,}6^\circ$, côtés 4,3 cm et 2,7 cm. 1. On peut utiliser la loi des sinus ou trigonométrie pour trouver $x$. 2. Supposons que $x$ est un côté opposé à un angle donné. 3. Utilisons la loi des sinus: $$\frac{x}{\sin(41{,}6^\circ)} = \frac{4{,}3}{\sin(63{,}2^\circ)}$$ 4. Isolons $x$: $$x = \frac{4{,}3 \times \sin(41{,}6^\circ)}{\sin(63{,}2^\circ)}$$ 5. Calculons: $$x \approx \frac{4{,}3 \times 0{,}664}{0{,}891} = 3{,}2 \text{ cm}$$ **b)** Quadrilatère avec côtés 16 mm, 21 mm, 25 mm, angle 70° et angle droit. 1. On peut utiliser la loi des cosinus pour trouver $x$ sur le côté supérieur. 2. Loi des cosinus: $$x^2 = 16^2 + 21^2 - 2 \times 16 \times 21 \times \cos(70^\circ)$$ 3. Calculons: $$x^2 = 256 + 441 - 2 \times 16 \times 21 \times 0{,}3420 = 697 - 229{,}7 = 467{,}3$$ 4. Donc: $$x = \sqrt{467{,}3} \approx 21{,}6 \text{ mm}$$ 4. **Déterminer la hauteur $h$ du volcan Mauna Kea**. 1. Données: $AB = 6$ km, angles $37{,}8^\circ$, $53^\circ$, $33^\circ$, $42^\circ$, angle droit en D. 2. On utilise la trigonométrie dans le triangle rectangle formé. 3. Supposons que $h$ est la hauteur verticale à trouver. 4. Utilisons la tangente de l'angle adjacent à $h$: $$\tan(37{,}8^\circ) = \frac{h}{6}$$ 5. Isolons $h$: $$h = 6 \times \tan(37{,}8^\circ)$$ 6. Calculons: $$h \approx 6 \times 0{,}774 = 4{,}6 \text{ km}$$ **Réponses finales:** 1.a) $\theta = 50{,}6^\circ$ 1.b) $\theta = 37{,}7^\circ$ 2) $RT \approx 33{,}6$ cm 3.a) $x \approx 3{,}2$ cm 3.b) $x \approx 21{,}6$ mm 4) $h \approx 5$ km (arrondi au km près)