1) a) Énoncé : Trouver la mesure principale de $ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv -\frac{15\pi}{4} \ [2\pi]$. Rappel : La mesure principale d'un angle est l'angle équivalent dans l'intervalle $(-\pi, \pi]$. Calcul : $$-\frac{15\pi}{4} + 4\pi = -\frac{15\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$ Donc, la mesure principale est $\boxed{\frac{\pi}{4}}$. b) Énoncé : Trouver la mesure principale de $ (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})$ sachant que $ (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) \equiv -\frac{7\pi}{12} \ [2\pi]$. Remarque : $$ (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) = - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = - (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$$ Donc : $$ (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) \equiv - \left(-\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{7\pi}{12} \ [2\pi]$$ Cette valeur est déjà dans $(-\pi, \pi]$, donc la mesure principale est $\boxed{\frac{7\pi}{12}}$. c) Énoncé : Trouver l'ensemble des points $M$ tels que $$ (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}) \equiv \frac{\pi}{6} \ [2\pi]$$ Interprétation : L'ensemble des points $M$ pour lesquels l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ est $\frac{\pi}{6}$ modulo $2\pi$. Conclusion : Cet ensemble est un arc de cercle ou une portion de plan définie par cette condition angulaire, souvent un cercle de points $M$ tels que l'angle au point $M$ entre $A$ et $B$ est $\frac{\pi}{6}$. 2) a) Énoncé : Soit $M = \Delta_1 \cap \Delta_2$, montrer que $M \in (\Gamma')$ où $(\Gamma')$ est le cercle circonscrit au triangle $OAC$. Rappel : $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont tangentes au cercle $(\Gamma)$ en $A$ et $C$. Propriété : Le point d'intersection des tangentes en $A$ et $C$ à $(\Gamma)$ appartient au cercle circonscrit au triangle $OAC$. Conclusion : $M$ appartient bien à $(\Gamma')$. b) Énoncé : Déterminer la mesure principale de $ (\overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MA})$. Propriété : Les tangentes en $A$ et $C$ forment un angle égal à l'angle au centre $O$ opposé à l'arc $AC$. Or, $ (\overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MA})$ est l'angle entre les tangentes en $M$. Conclusion : La mesure principale de $ (\overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MA})$ est $\boxed{\pi - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})}$, soit en valeur numérique $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Résumé : - $ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{4}$ - $ (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) = \frac{7\pi}{12}$ - Ensemble des points $M$ tel que $ (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}) = \frac{\pi}{6}$ - $M = \Delta_1 \cap \Delta_2 \in (\Gamma')$ - $ (\overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MA}) = \frac{3\pi}{4}$