1. مسئله: میانگین کمترین و بیشترین مساحت شکل را پیدا کنید، با توجه به اینکه اختلاف مساحت مستطیل‌های ABCD و EFGH دو برابر مساحت ناحیه مشترک آن‌ها است. 2. تعریف متغیرها و روابط: - فرض کنیم مساحت مستطیل ABCD برابر $A_1$ و مساحت مستطیل EFGH برابر $A_2$ باشد. - مساحت ناحیه مشترک آن‌ها را $A_c$ می‌نامیم. 3. طبق داده مسئله: $$A_1 - A_2 = 2 A_c$$ 4. برای یافتن کمترین و بیشترین مساحت شکل، باید روابط هندسی و زاویه‌ها را در نظر بگیریم. با توجه به زاویه‌های $\alpha$ و طول‌های $x$ و $y$، مساحت‌ها به صورت تابعی از این متغیرها تعریف می‌شوند. 5. فرض کنیم مساحت مستطیل ABCD برابر: $$A_1 = x y$$ 6. مساحت مستطیل EFGH را نیز به صورت تابعی از $x$, $y$ و $\alpha$ تعریف می‌کنیم. با توجه به هندسه شکل و زاویه‌ها، می‌توانیم رابطه‌ای برای $A_2$ و $A_c$ بنویسیم. 7. با استفاده از معادله داده شده: $$x y - A_2 = 2 A_c$$ 8. با جایگذاری روابط هندسی و حل معادلات، کمترین و بیشترین مقادیر مساحت شکل را می‌یابیم. 9. میانگین کمترین و بیشترین مساحت برابر است با: $$\frac{A_{min} + A_{max}}{2}$$ 10. نتیجه نهایی بستگی به مقادیر $x$, $y$ و $\alpha$ دارد که باید از داده‌های مسئله یا شکل استخراج شود. در اینجا به دلیل نبود داده‌های عددی دقیق، پاسخ کلی به صورت رابطه‌ای ارائه شد.