1. مسئله: یافتن میانگین کمترین و بیشترین مساحت شکل داده شده است که شامل مستطیل‌های تو در تو با ابعاد مشخص است. 2. تعریف متغیرها و اطلاعات داده شده: - طول افقی مستطیل‌ها برابر با $y$ - طول عمودی مستطیل‌ها برابر با $x$ - زاویه‌های $B1$ در مثلث‌های کوچک مرکزی - دو زاویه 5 درجه در گوشه‌های بالا و پایین سمت راست 3. برای محاسبه مساحت مستطیل‌ها از فرمول مساحت مستطیل استفاده می‌کنیم: $$\text{مساحت} = \text{طول} \times \text{عرض} = x \times y$$ 4. کمترین مساحت مربوط به کوچک‌ترین مستطیل داخلی است که با رئوس $B, C, G, F$ مشخص شده است. این مستطیل ابعادش به صورت تابعی از $x$ و $y$ و زاویه‌ها است. 5. بیشترین مساحت مربوط به مستطیل بزرگ بیرونی با رئوس $A, D, G, H$ است که مساحت آن برابر با $x \times y$ است. 6. برای یافتن کمترین مساحت، باید ابعاد مستطیل داخلی را با توجه به زاویه‌ها و طول‌ها محاسبه کنیم. با توجه به زاویه‌های $B1$ و 5 درجه و روابط مثلثاتی، می‌توان طول‌های داخلی را به صورت تابعی از $x$ و $y$ نوشت. 7. فرض کنیم طول داخلی افقی برابر با $y'$ و طول داخلی عمودی برابر با $x'$ 8. با توجه به زاویه‌ها و روابط مثلثاتی: $$y' = y - 2 \times 5 \times \tan(\alpha)$$ $$x' = x - 2 \times 5 \times \tan(\alpha)$$ 9. بنابراین کمترین مساحت: $$S_{min} = x' \times y' = (x - 10 \tan(\alpha)) (y - 10 \tan(\alpha))$$ 10. بیشترین مساحت: $$S_{max} = x \times y$$ 11. میانگین کمترین و بیشترین مساحت: $$S_{avg} = \frac{S_{min} + S_{max}}{2} = \frac{(x - 10 \tan(\alpha))(y - 10 \tan(\alpha)) + xy}{2}$$ 12. این فرمول میانگین مساحت را به صورت تابعی از $x$, $y$ و $B1$ نشان می‌دهد. نتیجه نهایی: $$\boxed{S_{avg} = \frac{(x - 10 \tan(\alpha))(y - 10 \tan(\alpha)) + xy}{2}}$$