1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle ABC avec I milieu de [BC]. Le point G est défini comme barycentre $G = \mathrm{Bar} \{(A,-2);(B,1);(C,-1)\}$. 2. **Montrer que $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$ :** - Par définition du barycentre, $\overrightarrow{OG} = \frac{-2\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB} -1\overrightarrow{OC}}{-2 + 1 -1} = \frac{-2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{-2}$. - Simplifions le dénominateur : $-2 + 1 -1 = -2$. - Donc, $\overrightarrow{OG} = \frac{-2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{-2} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OC}$. - Calculons $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = - \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$. 3. **Conclusion :** $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$, ce qui montre que $AG$ est la moitié de $BC$. 4. **Interprétation géométrique :** Cela signifie que G est le milieu du segment [AI] où I est le milieu de [BC], donc G appartient à la droite (AI). 5. **Résumé :** - $I$ est milieu de [BC]. - $G$ est barycentre donné. - $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$. - $G$ est sur la droite passant par $A$ et $I$. **Réponse finale :** $$\boxed{\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}}$$